以下はこの問題の回答ではありません。
f(x)=x^10を、x^2-1で割ったときの余りを求める問題で、
回答しようとしたら、質問が締め切られていたために
回答できなかったものです。
もったいないので、そのうちまた別の質問するかも、と思ったので、
取っておいたものです。
ご参考までに。
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もし高校で剰余の定理を習ったばかりというのであれば、こうやるんでしょう。
f(x)=x^10を、x^2-1で割ったときの、商をP(x)、余りをQ(x)とします。
Q(x)は1次式になるので、Q(x)=ax+b （a,bは実数）とおけます。
このa,bを求めます。
「f(x)=x^10を、x^2-1で割ったとき、その商をP(x)、余りをQ(x)とします。」
としたとき、関係式として、f(x)=x^10=(x^2-1)P(x)+Q(x) が成り立ちます。
これは大丈夫ですか？
13個の飴を4人で分けたら一人3つずつで、1個余ります。
4人が3つずつ＋余っている1個で全部の飴の数13個になりますね。
式に直すと、4x3+1=13ですが,
これは、
割った数ｘ割り算の答え＋余り＝割られる数
という関係が成り立つということです。
13を4で割ったらその商は3で余りは1ですが、
13=4x3+1 が成り立ちます。
これと同じです。
割った式（x^2-1）ｘ割り算の答えの式（P(x)）＋余りの式（Q(x)）
＝割られる式（f(x)）
ですね。
Q(x)=ax+b の形にしてみると、
x^10=(x^2-1)P(x)+ax+b です。
ここで。
x^10=(x^2-1)P(x)+ax+b に対して、(x^2-1)P(x) の部分が0になるようなxを探します。
(x^2-1)の部分が0になればいいので、x=±1がその値です。
この値を上の式に入れます。
f(1)=1^10=(1^2-1)P(1)+a+bで、
(1^2-1)P(1)の部分はゼロなので、
a+b=1 ということが分かります。
同様に、
f(-1)=(-1)^10=((-1)^2-1)P(-1)-a+b より、
-a+b=1 です。
a+b=1
-a+b=1
の2式を連立させて解くと、
a=0,b=1 となります。
従って、Q(x)=ax+b=1 です。
つまり、求める余りは、1 です。
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x^10 を x^2-3x+2 で割ったら余りは？
というときにもこの方法は使えるので、
良かったらやってみてください。
お礼
提案な解説ありがとうございます！