数Ｉの質問

質問

Q次の条件を満たすように、それぞれの定数mの値の範囲を求めよ
１、２次方程式x２乗+3x+m=0が異なる二つの実数解をもつ
２、２次方程式x2乗-4x-m=0が実数解をもたない
３、二次方程式3x2乗+6x+2m=0が実数解をもつ

Ｑ２ケタの自然数がある。十の位と１の位の数字の和は９で、この両方の数字を入れ替えてできる数ともとの数との積は２２６８になるという。このとき、元の数を求めよ。

Ｑ１辺の長さが９のひし形がある。その対角線の長さの差は６である。このひし形の面積を求めよ。

お願いします（＞＜）

回答No.3

nattocurry · ベストアンサー

x^2+3x+m=0
x^2+3x=-m
x^2+3x+9/4=9/4-m
(x+3/2)^2=9/4-m
x+3/2=±√(9/4-m)
x=-3/2±√(9/4-m)
x=-3/2±√(9-4m)/2
x=(-3±√(9-4m))/2

これが実数解となるためには、√の中身が正にならなければならない。
（√の中身がいわゆる判別式というもの）
9-4m≧0
9-4m=0のときは、重解になるから、異なる実数解となるためには、
9-4m>0

他の2問も同様に。

2桁の自然数が64だったら、6×10＋4×1　と表すことができる。
十の位をa、一の位をbとすると、a×10＋b×1＝10a+b
和が9なので、a+b=9
入れ替えた数は、10b+a
積が2268なので、
(10a+b)(10b+a)=2268
(9a+a+b)(9b+a+b)=2268
(9a+9)(9b+9)=2268
9(a+1)×9(b+1)=2268=9×252=9×9×28
(a+1)(b+1)=28
(a+1)((9-a)+1)=28
(a+1)(10-a)=28
(a+1)(a-10)=-28
a^2-9a-10=-28
a^2-9a+18=0
(a-3)(a-6)=0
a=3,6
b=6,3
(a,b)=(3,6),(6,3)

ひし形の対角線の長いほうをa,短いほうをbとすると、
a=b+6
ひし形の一辺の長さが9なので
(a/2)^2+(b/2)^2=9^2
a^2/4+b^2/4=81
a^2+b^2=81*4
(b+6)^2+b^2=81*4
b^2+12b+36+b^2=324
2b^2+12b=288
b^2+6b=144
b^2+6b+9=144+9
(b+3)^2=153=9*17
b+3=±√(9*17)=±3√17
b=-3±3√17
bは対角線だからb>0より
b=-3＋3√17
a=b+6=3＋3√17
ひし形の面積＝ab/2=(3√17-3)(3√17+3)/2=(153-9)/2=144/2=72

お礼

途中式まで丁寧にありがとうございました！！

回答No.2

noname#157574

No.1です。問3は一方の対角線の長さをxとおいた方がスマートだったようです。

回答No.1

noname#157574

問1(1)異なる二つの実数解をもつ⇔判別式D＞0
　　　(2)実数解をもたない（異なる二つの虚数解をもつ）⇔D＜０
　　　（3）実数解をもつ⇔D≧0
問2　十の位の数をxとおくと，一の位の数は9－xとおけるので，
　　　もとの数は10x＋(9－x)＝9x＋9＝9(x＋1)，
　　　入れ替えた数は10(9－x)＋x＝－9x＋90＝－9(x－10)となる。
　　　両者の積が2268なので，｛9(x＋1)｝×｛－9(x－10)｝＝2268
　　　－81(x＋1)(x－10)＝2268　(x＋1)(x－10)＝－28
　　　x²－9x＋18＝0　(x－3)(x－6)＝0　x＝3，6
　　　よってもとの数は36または63
問3　一方の対角線の長さの半分をxとおくともう一方の対角線の長さの半分はx－3とおける。
　　　ひし形の性質および三平方の定理から，x²＋(x－3)²＝9²
　　　2x²－6x－72＝0　x²－3x－36＝0
　　　x＝｛－(－3)±√((－3)²－4×1×(－36))｝/(2×1）＝(3±√153)/2＝(3±3√17)/2
　　　x＞0でなければならないからｘ＝(3＋3√17)/2　∴2x＝3＋3√17，2x－6＝－3＋3√17
　　　よって求める面積は（3＋3√17）×（－3＋3√17）/2＝(－9＋153)/2＝72　(答)72