電磁気学 ホロノーム系

質問

マクスウェル方程式の
divB=0
rotE+∂B/∂t=0

EとBの変数は6つあるけれども、上記2つの方程式のためにすべて独立ではないという記述がある本を見つけました。
考えた結果、解析力学の拘束条件でホロノーム系をなしているという認識でいいのでしょうか？
またその時、独立変数と自由度はどのように与えられるのでしょうか？

ベクトルポテンシャルやスカラーポテンシャルは、従属変数を少なくするという目的で導入されたものという認識でいいのでしょうか？

回答No.3

NemurinekoNya

その著者の言いたいのは、
電磁場は、二つの独立したベクトルではなく、
反対称の二階のテンソル！！
ってこった、たぶん。

それでも、ポテンシャルを持ち込まなければ、6個のままです。

お礼

なぜそうなるか？を聞きたいわけです。

何故その方程式からの帰結がそうなるか？を聞きたいわけです。
質問の回答に掛かる過程がなく、質問者に対して適切な誘導が為されないことに対してこういった応答を繰り返すわけです。
私は理学出身ではありませんので。

2次形式等の数学的背景がない人間にどう説明されるのでしょうか？
方程式論の様な数学的証明が必要な内容でしょうか？

回答No.2

NemurinekoNya

こんにちは。

ホロノミックな束縛条件とは
　f(q_i,t) = 0
と、その条件を表すことができるもの。
ここで、q_i(i = 1,2,3,・・・,N)は一般化座標。
これらは独立変数と呼ばれるものです。

質問者さんの６つは独立変数ではなく、従属変数。
解析力学のそれとは意味が違うように思うのですが・・・。

それはそれとして、
マクスウェルの方程式は四つからなる連立方程式ですから、
ここにあげていない二つの式は、
　divB=0
　rotE+∂B/∂t=0
の制約を受けます。

お礼

場の考え方は解析力学を基礎にしてますが？

回答No.1

NemurinekoNya

６から４に減るね～。
スカラーにすれば、3-1 = 2だから、２減るね～。

divB=0
から
　B = rotA
と出来るし、
　rotE+∂B/∂t=0
　rotE + ∂/∂t(rotA) = 0
　rot(E+∂A/∂t) = 0
これから、
　E+∂A/∂t = -gradφ

☆ベクトルポテンシャルやスカラーポテンシャルは、従属変数を少なくするという目的で導入されたものという認識でいいのでしょうか？
◇スカラーとベクトル、どっちの方が扱いやすい？
スカラーは座標系の変換や取り方によって変わらないけれど、
ベクトルは座標系の取り方によって、その成分（表示）が変わってしまう。
　───たとえば、xy座標と極座標では、同じベクトルでもその成分（表示）が変わってしまう───
どちらがより普遍的だと思う？

ほいじゃ。

お礼

回答ありがとうございます。

論点が一般的な電磁気学の教科書のことしか述べられていません。
聞きたいのは、2本の方程式がホロノーム系であるかどうか。
その変数がどこまで独立なのか？
束縛が2本の方程式であるから6-2=4個の変数が独立であるということでいいのか？
ここが最も聞きたいところです。

結果としてベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルが導入されていますが、定数分の自由度が存在するからゲージ変換(ローレンスゲージ条件とクーロンゲージ条件)が与えられるところまではわかります。
4個の変数ということで、ベクトルポテンシャルが3個、スカラーポテンシャルが1個ということでつじつまが合います。

ではこの論理ではホロノーム系の条件は微分方程式で与えられていても同じように考えることができるのか？

その点が私の中では不明なのです。