円錐の体積の最大値について

質問

円錐の体積の最大値について
円錐の体積の最大値になる時の頂点の中心角を求める式を教えてほしいです。２９４度あたりなのはわかるんですが、その求め方がわからないです。　あと角と体積の関係を示したグラフが載っているサイトを教えていただくとうれしいです。　よろしくお願いします。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

円錐の母線の長さが一定として、体積の最大となるときの円錐の展開図の中心角を求めたいのでしょうか。

母線の長さを1、中心角をxとすると、円弧の長さはx、
それを円にしたときの半径rは、
2πr=x　より、r=x/(2π)
底面積Sは、S=πr^2=x^2/(4π)
円錐の高さhは、三平方の定理より、
h=√(1-r^2)=√(1-x^2/(2π)^2)=√(4π^2-x^2)/(2π)
体積Vは、
V=Sh/3={x^2/(4π)}*{√(4π^2-x^2)/(2π)}/3
=x^2*√(4π^2-x^2)/(24π^2)

体積が最大になるのは、dV/dx=0のときなので、
dV/dx=2x*√(4π^2-x^2)/(24π^2)-x^3/{(24π^2)√(4π^2-x^2)}
=x(8π^2-3x^2)/{(24π^2)√(4π^2-x^2)}=0
より、
x=(2√6/3)π≒293.939度

サイトは分かりませんが、角と体積の関係式は、
V=x^2*√(4π^2-x^2)/(24π^2)

お礼

返事ありがとうございました。とてもわかりやすく参考になりました。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞円錐の体積の最大値になる時の頂点の中心角を求める式を教えてほしいです。
これだけではなんとも・・・
ある条件のもとで、体積の最大値を考えるのであればわかりますが、
それでも
・底面積が一定ならば、高さが高ければ高いほど体積は大きくなる。
・高さが一定でも、底面積（半径）が大きければ大きいほど体積も大きくなる。

となってしまいます。

お礼

説明不足でした。わざわざ指摘ありがとうございました。