残差平方和の「補正項」の計算

質問

添付の写真の通り、そろばんや電卓が計算手段だった昔は、残差平方和の計算式に補正項があったそうです。その補正項を導きたいです。自分で解こうとしたのですが、途中までしか解けなかったのでご覧ください
（非常に複雑なので敢えてLaTeXで書きました。ネットでもhttps://cocalc.com/projects/f3d50097-ed36-4084-96ec-e2e05d64b443/files/Welcome-to-CoCalc.tex?session=defaultなどに貼れば見れます）:

\documentclass{article}
\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{breqn}

\begin{document}
\parindent = 0pt

残差平方和の計算\\
定義式(2.1.6)\\
（\(\bar{x.}\)は平均値です）
\begin{equation}\label{xx}
\begin{split}
S &= \sum_{i=1}^{n} e_i^2 \\
&= \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x.} )^2 \\
\end{split}
\end{equation}

残差平方和の補正項
\begin{equation}\label{2.1.6}
\begin{split}
S &= \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \frac{(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2}{n} \\
\end{split}
\end{equation}

残差平方和から補正項を導いてみる
\begin{equation}\label{xx}
\begin{split}
S &= \sum_{i=1}^{n} e_i^2 \\
&= \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x.} )^2 \\
&= \sum_{i=1}^{n} (x_i^2 - 2x_i \bar{x.} + \bar{x.}^2) \\
&= \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2\sum_{i=1}^{n} x_i \bar{x.} + \sum_{i=1}^{n} \bar{x.}^2 \\
\end{split}
\end{equation}

つまり、
\begin{equation}\label{xx}
\begin{split}
- 2\sum_{i=1}^{n} x_i \bar{x.} + \sum_{i=1}^{n} \bar{x.}^2 = - \frac{(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2}{n}\\
\end{split}
\end{equation}
・・・ということでしょうか？\\
これ以降が解けません。\\
補正項に\(\bar{x.}\)が無いことから推測すると、\\
補正項というのは近似値なのでしょうか？

\end{document}

以上、よろしくお願いします

回答No.1

phosphole · ベストアンサー

∑(xi - <x>)^2 = ∑(xi^2) - ∑(2<x>xi) + ∑<x>^2 = ∑(xi^2) - 2<x>∑xi + <x>^2∑ = ∑(xi^2) - 2<x>∑xi + <x>^2 n
ここで
<x> = (∑xi)/n
であるから、
-2<x>∑xi = -2 (∑xi)/n ∑xi = -2 (∑xi)^2/n
<x>^2 n = (∑xi /n)^2 n = (∑xi)^2/n
よって
∑(xi^2) - 2<x>∑xi + <x>^2 n = ∑(xi^2) -2 (∑xi)^2/n + (∑xi)^2/n = ∑(xi^2) - (∑xi)^2/n
となる。
したがって、結局、補正項の式はまともに計算したのと同じになるので、数式上は特に近似などは無い。

ただ、現実の数値計算を行う場合、上記の「補正項」というのは、第一項にくらべずっと小さい値になるのが普通であるから、大きい数ー小さい数という、誤差／有効数字の観点からあまり良くない計算になってしまう。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。
完全に理解しました。

> ここで
> <x> = (∑xi)/n
> であるから、

そうでした、平均値の本来の意味に立ち返ると(∑xi)/nでした。同じ項があって統合されたり、相殺されて消えていったり、芸術みたいでした。

＃　パソコンが無い時代にこういうのを解いてた人達は大変だったでしょうね。

きっと私一人ではずっと解けませんでした。
ありがとうございました！

回答No.2

phosphole

最後のところを訂正します。

ただ、現実の数値計算を行う場合、上記の「補正項」というのは、第一項にくらべずっと小さい値になるのが普通であるから、大きい数ー小さい数という、誤差／有効数字の観点からあまり良くない計算になってしまう

ではなく、
大きい数－大きい数という引き算で小さい数（＝平方和）を出すことになるので、計算の精度が悪い、というべきでした。

お礼

今、読みました。
なるほど、お互いに1次（素のまま）の状態で引き算したものを後で2乗するのではなく、2乗した者同士を引き算するので精度が悪くなってしまうんですね。今はＥｘｃｅｌでそれぞれのiについて簡単に計算できますが、昔は全部足し合わせてから計算するしかなかったんでしょうね。

この時代に生まれてよかったです。(*^_^*)
ご説明、ありがとうございました！