集合の証明

質問

A⊆B→2^A⊆2^B
の関係が成り立つことを証明してください。

また、
(AXC)U(BXD)⊆(AUB)X(CUD)
の関係が成り立つことの証明してください。

上記の2問のどちらかだけでも構いません。
一つでも教えてくださると助かります。
全く検討がつかないのでよろしくお願いします。

回答No.2

gomagoma427 · ベストアンサー

数学の本は高いものが多く、そのうえ相性もあるかと思うので、特におすすめできるものがありません・・・。

とりわけ私も教科書的な本は大の苦手で頭痛がするためほとんど読んだことがありませんでした・・・。
それでも敢えてというのであれば、松坂和夫先生の著書はとても丁寧に書いてあると評判です。私も持ってますが、なにぶん字が細かく分厚いので通読は断念しました・・・。

ですが同じ松坂和夫先生の本で多様体やトポロジーに関する本は読みました。そちらのほうも他の本の評判と同じく大変説明が丁寧でした。

集合に関しては図を書いてみるか、ひとつずつ丁寧に考えて行くのが良いように思います。
私は集合について考えるときにはとにかくベン図をかきます。あの円をいくつか書くようなものです。

(AXC)U(BXD)⊆(AUB)X(CUD)　のようなものはひとつの要素が片方に入ると考えて、それがもう片方にも入ることを丁寧に考えていけば大丈夫だと思います。

証明ではなくイメージの問題になりますが、例えば

A＝（０，１）
B＝（１，２）
C＝（０，１）
D＝（１，２）

として（ｘ、ｙ）平面上で考えますと、

AXC　＝　（０，１）ｘ（０，１）
BxD　＝　（１，２）ｘ（１，２）

となり、(AXC)U(BXD)　は田んぼの田の字の左下と右上の四角の部分になります。

一方で
AUB＝（０，２）
CUD＝（０，２）

ですので、(AUB)X(CUD)　は田んぼの田で言うと四つの四角全ての部分に該当します。

あまりうまく説明できませんでしたが、この図からも
(AXC)U(BXD)⊆(AUB)X(CUD)
が直感的に理解できると思います。

図がかけそうなときは図でかいてみると理解しやすいかと思います。

お礼

丁寧に説明してくださりありがとうございます。
確かに数学の本は相性が重要かもしれませんね・・・

後ほど熟読させていただきます。
今回は本当にありがとうございました。

回答No.1

gomagoma427

2^A とは冪集合のことかと思いますが、これはAの部分集合全体を集めた集合です。

A⊆B　より、Aの部分集合であるなら当然Bの部分集合でもあります。したがって

2^A⊆2^B　が成り立つと思います。

次に、
(x, y) が(AXC)U(BXD)の要素であるとします。

すると(x,y) は　(AXC)　の要素であるか、あるいは　(BXD)　の要素です。

そのどちらの場合にしても、結局　ｘ　は　AUB　に含まれていることになりますし、ｙ　は CUD に含まれています。

つまり、(x,y) は (AUB)X(CUD) の要素でもあることになります。
今 (x,y) は任意に選んだので、

(AXC)U(BXD)⊆(AUB)X(CUD)

が言えます。

お礼

迅速な回答本当にありがとうございます。
非常に助かりました。

集合の証明などの数学について学べるサイトや良い参考書などがありましたら教えていただきたいです。
面倒でしたらお答えいただけなくても全く大丈夫です。