平面図形が解けません。

質問

半径ar、中心点A(a1,a2)の円Aがあります。
その中心をを通る直線mがあります。
その直線上の任意の点を点B(b1,b2)とします。
また、円Aに内接し、中心(x,y)が直線m上にあり、
半径crの円Cがあります。
円Bの中心(x,y)を解いてください。
(言い方がおかしいですが、、、)
何がしたいかというと、
マウスを動かして、その目玉が追跡するということですが、、、。
自分で考えていたら混乱しました。
sin,cos可だと思います。
要素で足りないものがあれば補足します。
できれば、簡素なものがいいです。

回答No.3

stomachman

黒目(円C)が目玉(円A)に内接しているとき、黒目の中心(x,y)は、点A=(a1,a2)を中心とする半径(ar-cr)の円（これを円Dとしましょう）の円周上にあります。

(1) マウスのカーソル点B=(b1,b2)が円Dの中にある場合には、黒目(円C)の中心が点Bと一致している、ってのは如何でしょう。このときには黒目は目玉の中にあるけれども、内接してはいない。
それでオッケーであれば、
もし(b1-a1)^2+(b2-a2)^2 ≦ (ar-cr)^2 ならば (x,y)=(b1,b2)
（ここで、^2 は、二乗する、って意味です。）
とすれば良い。

(2) マウスのカーソル(b1,b2)が円Dの外にある場合：
(x,y)はまた、直線m上にあります。
直線mは点B=(b1,b2)と点A=(a1,a2)を通っています。
んですから、直線mと円Dの交点を求めればよい。

原点を(a1,a2)にずらした座標系(X,Y)で考えれば簡単です。つまり
(X,Y)=(x-a1,y-a2)
という変換をしてやると、
点A=(0,0)
点B=(b1-a1,b2-a2)
円D= {(X,Y) | X^2+Y^2=(ar-cr)^2}
ですから、連立方程式
X^2+Y^2=(ar-cr)^2　…(イ)
k X=(b1-a1)　…(ロ)
k Y=(b2-a2)　…(ハ)
を満たすX,Y,kを求める問題です。
(イ)の両辺を(k^2)倍してみると
(k X)^2+(k Y)^2=(k^2)((ar-cr)^2)
であるから(ロ)(ハ)を代入して
(b1-a1)^2+(b2-a2)^2=(k^2)((ar-cr)^2)
ここで、黒目は目玉より小さい。つまり(ar-cr)＞0なんだから、両辺を((ar-cr)^2)で割ることができて
(k^2)=((b1-a1)^2+(b2-a2)^2)/((ar-cr)^2)
となる。両辺の平方根(sqrt)をとれば、kが決まります。
k=sqrt(((b1-a1)^2+(b2-a2)^2)/((ar-cr)^2))
そして(2)の条件から、k＞1である。だからk=0になることはないんで、kを分母にしても大丈夫。
X=(b1-a1)/k
Y=(b2-a2)/k
最後に、原点をずらしてあったのを元にもどして、
x=X+a1
y=Y+a2
によって(x,y)が計算できます。

●そうすると、(1)(2)を合わせて、
k=sqrt(((b1-a1)^2+(b2-a2)^2)/((ar-cr)^2))
if k ≦1 then (x,y)=(b1,b2) else　(x,y)=((b1-a1)/k+a1,(b2-a2)/k+a2)

これが「簡素」かどうかはなんとも言えませんが。

kony0さん、やっほー

お礼

ありがとう。

回答No.2

kony0

ところで「目玉の動き」に忠実とするなら
線分ABを(ar-cr):Max{(l-ar+cr),0}の比に内分と考えたほうがよさげ。

#1の考え方だと、
・AとBが一致する(l=0)のとき、「０割(#DIV/0!)」が発生
（対処法は、C=A(=B)とする）
・AとBが極めて近いとき（式でいうとl+cr<arのとき。つまり「マウスポインタの位置」Bを中心とした「黒目」を描いても、円Aの内部に包含されるとき）でも、「黒目」の中心はBの位置に来ない（ABの延長線上でかつ、「黒目」が「瞼」に内接する位置となる）

回答No.1

kony0

少々問題文を逸脱するかもしれません（問題文はいくつか問題定義不足がある）が、「マウスを動かして、その目玉が追跡する」に忠実にいくと・・・

前提条件として、ar>crとします。（瞼＞黒目です）
また、線分ABの長さをlとおきます。

円Cの中心は線分ABを(ar-cr):(l-ar+cr)の比に[わける]点です。
[わける]とは、l-ar+cr>0のとき内分、l-ar-cr<0のときは外分。いずれにしても点の座標は統一的に式で表せます。