図形と方程式 解説お願いします

質問

x^2+y^2-4x-8y+11=0、点A（a,0）（a＞0）から引いた2本の接線の接点をP,Qとしたとき、三角形APQが正三角形となるaの値を求めよ

ｘ＾２＋ｙ＾２－４ｘ－８ｙ＋１１＝０
ｘ＾２－４ｘ＋４＋ｙ＾２－８ｙ＋１６－９＝０
（ｘ－２）＾２＋（ｙ－４）＾２＝３＾２
中心＝Ｍ（２，４）、半径３の円

ＡＭ＾２＝（ａ－２）＾２＋（０－４）＾２
ＡＭ＝√｛（ａ－２）＾２＋１６｝

この次がわかりません

回答No.3

ferien · ベストアンサー

＞x^2+y^2-4x-8y+11=0、点A（a,0）（a＞0）から引いた2本の接線の接点をP,Qとしたとき、
＞三角形APQが正三角形となるaの値を求めよ

ｘ＾２＋ｙ＾２－４ｘ－８ｙ＋１１＝０
ｘ＾２－４ｘ＋４＋ｙ＾２－８ｙ＋１６－９＝０
（ｘ－２）＾２＋（ｙ－４）＾２＝３＾２
中心＝Ｍ（２，４）、半径３の円　……円Ｍとします。
ＡＭ＾２＝（ａ－２）＾２＋（０－４）＾２
＞ＡＭ＝√｛（ａ－２）＾２＋１６｝……（１）

図を描いて考えてみて下さい。
△ＡＰＭと△ＡＱＭとで、
ＡＰ，ＡＱは円Ｍの接線だから、ＡＰ垂直ＭＰ，ＡＱ垂直ＭＱだから、
∠ＡＰＭ＝∠ＡＱＭ＝９０度　
ＡＭ共通
ＭＰ＝ＭＱ＝３（円の半径）
よって、２つは直角三角形で斜辺と他の１辺が等しいから
△ＡＰＭ≡△ＡＱＭ
だから、ＡＰ＝ＡＱ，∠ＰＡＭ＝∠ＱＡＭ
よって、△ＡＰＱが正三角形であるためには、
∠ＰＡＭ＝∠ＱＡＭ＝３０度であれば良い。
ここで、△ＡＰＭについて考えると、
∠ＡＰＭ＝９０度，∠ＰＡＭ＝３０度だから、
１：２：√３の直角三角形　
よって、ＭＰ：ＡＭ＝１：２で、ＭＰ＝３より、ＡＭ＝６
（１）より、
ＡＭ^2＝（ａ－２）^2＋１６＝６^2
（ａ－２）^2＝２０
ａ－２＝±２√５
ａ＞０より、
よって、ａ＝２＋２√５

になりましたが。。どうでしょうか？
、

お礼

回答ありがとうございます

回答No.5

yyssaa

#2,#4です。計算ミスでご迷惑をおかけしました。ANo.2、ANo.4
を以下の通り訂正します。
△APMも△AQMも直角三角形だからAP^2=AQ^2=AM^2-3^2・・・(ア)
又、点P、点QはAMを直径とする円の円周上にあるので、
∠PAQ=π/3であれば∠PMQ=2π/3
よってPQ=2*(3√3)/2=3√3・・・(イ)
(ア)と(イ)よりAP^2=AQ^2=AM^2-3^2=PQ^2=(3√3)^2
よって(a-2)^2+4^2-3^2=(3√3)^2
a^2-4a-16=0
a={4±√(16+64)}/2=(4±√80)/2=2±2√5
a=2+2√5・・・答え

お礼

何度もすいません
ご回答ありがとうございます
謎が解けました
２通りのやり方でマスターします

回答No.4

yyssaa

#2です。a>0でしたね。ANo.2の答えを以下の通り訂正します。
△APMも△AQMも直角三角形だからAP^2=AQ^2=AM^2-3^2・・・(ア)
又、点P、点QはAMを直径とする円の円周上にあるので、
∠PAQ=π/3であれば∠PMQ=2π/3
よってPQ=2*(3√3)/2=3√3・・・(イ)
(ア)と(イ)よりAP^2=AQ^2=AM^2-3^2=PQ^2=(3√3)^2
よって(a-2)^2+4^2=(3√3)^2
a^2-4a-7=0
a={4±√(16+28)}/2=(4±√44)/2=2±√11
a=2+√11・・・答え

補足

答え
たぶん２＋２√５です

選択欄に2+√11がなかったです

回答No.2

yyssaa

△APMも△AQMも直角三角形だからAP^2=AQ^2=AM^2-3^2・・・(ア)
又、点P、点QはAMを直径とする円の円周上にあるので、
∠PAQ=π/3であれば∠PMQ=2π/3
よってPQ=2*(3√3)/2=3√3・・・(イ)
(ア)と(イ)よりAP^2=AQ^2=AM^2-3^2=PQ^2=(3√3)^2
よって(a-2)^2+4^2=(3√3)^2
a^2-4a-7=0
a={4±√(16+28)}/2=(4±√44)/2=2±√11
a=2+√11及びa=2-√11・・・答え

回答No.1

gohtraw

円の中心をＯ、ＰＱとＯＡの交点をＲとすると、
∠ＱＲＡ＝９０°、ＱＡ＝２ＱＲ、△ＡＱＲと△ＡＯＱと△ＱＯＲは相似などを使えばＯＡの距離が出るはずです。

お礼

回答ありがとうございます