my XY平面がつぶれました（悲）～（やや長文）～

質問

ある公立大学の入試問題です。（東北のほうの・・・）

問題はタイトルからも予測できる通り“図形と方程式です”
まずは、問題を見てください。

x軸と3y-4x=0,3x+4y=12 の作る三角形の内接円の中心の座標を求めよ。

上のような問題です。
（自分の考え）
三つの式を(1)(2)(3)なんて置いてあげて(ax+by+c=0の形で）
三つの交点をそれぞれ出しました。
（0,0).(4,0)(36/25,48/25)です。（たぶん）
ここからの考えには自信が全くありませんが、まず書かないと始まらないので自分なりに無理やり回答を作りました。
内接円の半径は直線と垂直に交わるので、内接円の半径を（x1,y1)とおき
それぞれ点と直線の距離公式（ｄ＝の公式）で求めイコールにしました。
しかし、どれだけ粘って文字減らしをしてもうまくいきません。
よって、この考えは間違っていると仮定しました。

質問）
・方針を教えてください。
（方針があっている場合）
⇒どのように解くかを教えてください。

以上です。長文申し訳ありません。なにとぞ宜しく願いします。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

その方針でよいと思います。

距離の公式にあてはめると、
d=|3y-4x|/sqrt(25)=|3x+4y-12|/sqrt(25)=|y|
になりませんか？

あとは絶対値の処理ですが、場合わけにより、

・(3y-4x)/5=(3x+4y-12)/5=y
・(3y-4x)/5=(3x+4y-12)/5=-y
・(3y-4x)/5=-(3x+4y-12)/5=y
・(3y-4x)/5=-(3x+4y-12)/5=y
の4通りが得られます。それぞれ解いた上で、三角形の
内心に相当するものを見つければよいと思います。
答えは、x=1.6,y=0.8かな(?)。

※なぜ4通りが得られるかを考えてみると面白いと思います。
　（傍心になるのかな）

＜別解＞
内心は、三角形の角の2等分線の交点であること。
ならびに2等分線定理により、2辺の長さによる内分点を求めて
対頂点とを結ぶ直線の方程式を２つ求めれば、その交点として
得ることもできるかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

oOOOOOOぉおおおおおお！！！（別解は一瞬で理解できました。）

絶対値処理を自分はこうしました見てください。（簡単な例で）
｜a|＝｜a-b|⇔√（a)^2=√（a-b)^2⇔a^2=(a-b)^2
この用にして解いたのですが、これで数学が成り立たないのは具体的にどこですか？
たぶんどこか同値が成り立たないようですが・・・

補足

ちなみに「正解」してます。

回答No.4

debut

絶対値処理、２乗でもできますよ。
-4x+3y=0との距離＝ｘ軸との距離から
｜-4x1+3y1｜/5=y1
２乗して整理すると、
16x1^2-24x1y1-16y1^2=0
2x1^2-3x1y1-2y1^2=0
(2x1+y1)(x1-2y1)=0
明らかにx1もy1も正なので、x1=2y1
これを3x+4y-12=0との距離＝ｘ軸との距離の式
｜3x1+4y1-12｜/5=y1 に代入、２乗、整理すると
25y1^2-80y1+48=0
(5y1-12)(5y1-4)=0
y1＜48/25だから、(y1=12/5は不適で）y1=4/5

お礼

分かりやすい説明ありがとうございます。
回答まで無事たどり着きました！！

回答No.3

gohtraw

＃２です。補足と訂正。
ｘ軸以外の二つの直線の交点が第一象限にあることより、内接円の中心Ｏも第一象限にあります。したがってＯの座標を（ｐ、ｑ）とするとｐ＞０、ｑ＞０であり、三角形の各辺とＯとの距離はｑになります。

誤：Ｏは直線３ｙ－４ｘ＝０、および直線３ｘ＋４ｑ－１２＝０よりも下にあるので
正：Ｏは直線３ｙ－４ｘ＝０、および直線３ｘ＋４ｙ－１２＝０よりも下にあるので

お礼

回答ありがとうございました

回答No.2

gohtraw

内接円の中心Oの座標を（ｐ、ｑ）とすると、Oとｘ軸の距離はｑです。したがって他の二辺とOの距離は
｜－４ｐ＋３ｑ｜／５＝ｑ
｜３ｐ＋４ｑ－１２｜／５＝ｑ
Ｏは直線３ｙ－４ｘ＝０、および直線３ｘ＋４ｑ－１２＝０よりも下にあるのでー４ｐ＋３ｑ、３ｐ＋４ｑ－１２の符号が判るはずです。それを使って絶対値を外せばあとは単なる連立方程式です。

お礼

お礼が遅れすいません。

回答ありがとうございます！！