【高校】平面図形の質問です。

質問

平面図形についての質問です。

(1)直線mx－(2m－1)y＋m－1=0が円x^2＋y^2＋2x－4y＋4=0に接するように定数mの値を求めなさい。

(2)円x^2＋y^2=4と直線mx＋y=4が異なる2点で交わり、弦ABの長さが2√2であるとき、mの値を求めよ

(1)は判別式を使ってみたのですが解けず
(2)は図を書いてもピンときませんでした。

よろしくお願いします
m(__)m

回答No.4

ItachiMasamune · ベストアンサー

これは典型的な点と直線の距離の公式を使う問題です。
点(p,q)と直線ax+by+c=0との距離は
|ap+qb+c|/√(a^2 + b^2)です。

(1)
円は(x+1)^2+(y-2)^=1と変形できますので、中心(-1,2),半径1の円です。
つまり点(-1,2)と直線mx－(2m－1)y＋m－1=0の距離が1になればいいわけですから、
|m・(-1)-(2m-1)・2+m-1|/√5=1
これをとけばいい
(2)
これは円の中心が(0,0)、半径2です。そして、図を描けば分かりますが、円の中心と直線の距離は√2になりますので、同じように式を立ててとけばよいです。

参考ＵＲＬに公式載ってます

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/distance.htm

回答No.3

naniwacchi

こんな方法もありますということで。

(1)直線の式を変形（mについて整理）すると、m(x-2y+1)+(y-1)=0となります。
すると、この直線は mの値に関係なく、点(1,1)を通ることがわかります。
ここから具体的な直線の式を求めて、対応する mの値を出すという方法もあります。

(2)直線の式は、y=-mx+4となるので傾きは -mです。
円と直線の交点の x座標をα、β（α＜β）としたとき、この2点間の距離（＝弦ＡＢ）は (β-α)*√(1+m^2)となります。
（傾きが -mであることと三平方の定理を用いて）
β-αは、xの2次方程式の解と係数の関係を使っていけば処理できるはずです。
意外とあっさり計算できてしまうような気がします。

回答No.2

noremiko

(1)　直線mx－(2m－1)y＋m－1=0を、直線ｎとしましょう。
　円の方程式を変形して（x+1)^2+(y-2)^2=1

これで円は（－１，２）を中心とする半径１の円であることが分かりました。

接点を（ｓ、ｔ）とおくと、接点は直線ｎと円の両方を通るから
ms－(2m－1)t＋m－1=0・・・(1)
s^2＋t^2＋2s－4t＋4=0・・・(2)

また、直線ｎは円に接するわけですから、中心と接点を通る直線の傾き（ｓ＋１　分の　ｔ－２）と、直線ｎの傾き（２ｍ－１　分の　ｍ）の積は、ー１となります。
すなわち、（ｔ－２／ｓ＋１）×（ｍ／２ｍ－１）＝－１・・・(3)

これを連立させましょう。めんどくさいですね。

回答No.1

gohtraw

（１）接点を（ｐ、ｑ）とすると、
　・接点と円の中心の距離は円の半径に等しい
　・接点を通る半径は問題中の直線と直交する
　・問題中の直線は接点を通る
を使ってみては如何？
（２）円の半径が２で弦の長さが２√２なので、この弦に対応する中心角はπ／２です。よって円の中心からこの弦に下ろした垂線の長さは√２になります。つまり、この直線はｘ＾２＋ｙ＾２＝２に接するということになります。