物理の問題です

質問

状態A(P1,V1,T1)から状態B(P2,V2,T2)へ断熱膨張した時にP1V1^γ=P2V2^γが成り立つことを証明せよ。
あまり理解ができていないので解き方と答えを教えてもらえるとありがたいです。

回答No.1

SKJAXN · ベストアンサー

熱力学第１法則より、気体が外部にする仕事をW、内部エネルギーをUとすると、断熱変化では熱の出入りが無いため、
0＝dW＋dU →(式1)
またdWは、圧力をP、体積をVとすると、
dW＝P*dV
dUは、モル数をn、定積モル比熱をCv、温度をTとすると、
dU＝n*Cv*dT
これらを(式1)に入れて整理すると、
P*dV＝－n*Cv*dT →(式2)
また気体定数をRとすると、状態方程式から、
P＝n*R*T/V
を(式2)に代入すると、
n*R*T*dV/V＝－n*Cv*dT
⇔ R/Cv*dV/V＝－dT/T →(式3)
ここで定圧モル比熱CpとCvの間には
Cp－Cv＝R
の関係があるため、これを(式3)に代入すると、
(Cp－Cv)/Cv*dV/V＝－dT/T
⇔ (γ－1)*dV/V＝－dT/T （∵Cp/Cv＝γ） →(式4)
(式4)の両辺を積分すると、
(γ－1)*ln(V)＝－ln(T)＋C0 （ここでC0は、積分定数）
⇔ ln(V^(γ－1))＝ln(1/T)＋ln(C1) （ここでC1＝exp(C0)）
⇔ V^(γ－1)＝C1/T
⇔ T*V^(γ－1)＝C1（一定） →(式5)
さらに気体の状態方程式より、
T/V＝P/(n*R)
これを(式5)に代入すると、
P/(n*R)*V^γ＝C1
結局、P*V^γ＝一定
であるため、
P1*V1^γ＝P2*V2^γ
が成立します。