複素数のn乗根が解けません

質問

例に、Z^4=1　という問題を解くとします。

ド・モアブルの定理より
r^4(cos4θ + isin4θ)　となるところまでは分かります！
しかし
r^4(cos4θ + isin4θ) = 1(cos0 + isin0)　は理解出来ませんでした。

この後もいきなり訳の分からない数(2kπ)が出てきて、私にはちんぷんかんぷんです。

ご教示お願いします。

回答No.14

www01 · ベストアンサー

No.13です。何を困っているのか、やっとわかってきました。
とりあえず問題を以下のようにとらえますね。
問1.r^4(cos4θ+isin4θ)=1(cos0+isin0)
問2.r^3(cos3θ+isin3θ)=1(cosπ/2+isinπ/2)
について、それぞれの等式を満たすθはなにか。

問1の答え→θ=0,π/2,π,3π/2
問2の答え→θ=π/6,5π/6,3π/2

θのことですが、円を1周すると360度ですが、現代的な数学では360度という表示を用いずに2πを当てはめます。半径1の円周の長さは2πということを思い出してください。
90度=π/2,180度=π,270度=3π/2,360度=2π=0
です。ところで、1周(2π)すると同じところに戻ってきますから、
π/2=π/2+2π=π/2+4π=π/2+2kπ (k=1,2,…)
で他の場合も同様です。

次に、
Z^n=1をド・モアブルの定理を用いて解け。
という問題ならば、

Z^n=1
→(cosθ+isinθ)^n=(cos(nθ)+isin(nθ))
=1=(cos(2kπ)+isin(2kπ))を満たすθはn個ある。
そのθをθmと表記することにすると、cos(θm)+isin(θm)を求めよ。

という問題になります。

●Z^4=1の解
4θ=2kπ → θ=0(=2π),π/2,π,3π/2

θ=3π/2の場合
cos(3π/2)+isin(3π/2)
=0-i
(3π/2は複素平面上で、第３象限と第４象限の間にある)

●Z^3=1の解
3θ=2kπ → θ=0,2π/3,4π/3

π/3=60度,2π/3=120度に注意する。

θ=4π/3の場合
cos(4π/3)+isin(4π/3)
=-1/2-iΓ3/2
=-(1+iΓ3)/2
（4π/3は、複素平面上で第３象限にある。）

スマホにルート記号が入ってなかったので、記号Γで代用しました。上の値を３乗すると、
(-(1+iΓ3)/2)^3=1

…携帯で打ってたら、全体が見えなくて合ってるのかわからんくなってきた。他の方々、ミスあったら修正お願いします(^_^;)

お礼

感謝します！！！
やっと理解出来ました。
私の質問の仕方が悪かったのかもしれませんね...

本当にありがとうございました。
(ケータイで打っていただいていたなんて...)

回答No.3

178-tall

>例に、Z^4=1　という問題を解くとします。
>ド・モアブルの定理より　r^4(cos4θ + isin4θ)　となるところまでは分かります！
>しかし　r^4(cos4θ + isin4θ) = 1(cos0 + isin0)　は理解出来ませんでした。

これは、{r, θ} 形式で解くため、
　Z^4 = 1 = 1*(cos0 + isin0)
と、原題を z = r*e^(iθ) 形式に整形しているだけ。
このあとは r*e^(iθ) の 4 乗根を勘定すべく、r^(1/4) つまり r の4 乗根と、e^(iθ/4) つまりθの 4 等分角を求めることになるのでしょう。

>この後もいきなり訳の分からない数(2kπ)が出てきて、私にはちんぷんかんぷんです。

これは「円周角の n 等分問題」、つまりθの 4 等分角を求めるための一手法。

前記 (cos0 + isin0) = e^(i0) の偏角 0 の 4 等分角は零なので、4 等分しても零。

…けど、偏角を 4 倍すると e^(i0) になるものは、ほかにもあるらしい。
たとえば、2π/4 を 4 倍すると e^(i2π) = e^(i0) だろう。

ならば、2π/4 を整数倍してもよさそう … だとすると解は無限個ある？
これは勝手過ぎる憶測で、あるところまで行くとダブりはじめます。
ダブらない範囲は 2kπ : k = 0, 1, 2, 3 だろう、ということなのでしょう。

回答No.2

info222_

[解法1]
Z^4=1
Z^4-1=0
(Z^2-1)(Z^2+1)=0

左辺=(Z-1)(Z+1)(Z^2-(-1))=(Z-1)(Z+1)(Z^2-i^2)
=(Z-1)(Z+1)(Z-i)(Z+i)=0

∴Z=1, -1, i , - i

[解法2]
Z^4=1=1*e^( i 0)

ここで e^( i 0) を一般角で書くと　e^( i 2nπ)　なので
Z^4=1*e^( i 2nπ)
Z={1*e^( i 2nπ)}^(1/4)
　={1^(1/4)}*e^( i 2nπ*(1/4))
　=1*e^( i nπ/2)
0≦nπ/2＜2πの範囲のnは
　n=0, 1, 2, 3
なので
　n=0のとき　ド・モアブルの定理より
　　Z=1*e^(i 0π/2)=1*e^( i 0)=cos(0)+ i sin(0)= 1
　n=1のとき　ド・モアブルの定理より
　　Z=1*e^(i 1π/2)=1*e^( iπ/2)=cos(π/2)+ i sin(π/2)= i
　n=2のとき　ド・モアブルの定理より
　　Z=1*e^(i 2π/2)=1*e^( iπ)=cos(π)+ i sin(π)= -1
　n=3のとき　ド・モアブルの定理より
　　Z=1*e^(i 3π/2)=1*e^( i 3π/2)=cos(3π/2)+ i sin(3π/2)= -i

以上まとめると
　Z=1, -1, i, - i
Z=

回答No.1

asuncion

複素平面上の4点
(1, 0)
(0, i)
(-1, 0)
(0, -i)
を1周して
(1, 0)
に戻ってきた状態ではないかな？