誤差を含む計算

質問

半径が約10ｍｍ,質量が約28gの球がある。その密度を求めるとき,半径の測定には±0.1ｍｍの誤差が伴う。質量は(1)1gまで(2)0.1gまで(3)0.01gまでのうちどのくらいまで測ればいいか論ぜよ。ただしπは3.14とする。

という大学での課題です。相対誤差や有効数字についてはある程度理解はしていますが、いまいち何をすればいいのかわかりません。どのような考え方をすればいいのか教えていただけませんか。

回答No.2

Tann3 · ベストアンサー

単純に、

（１）半径：　10　±　0.1　mm　→　**.* mm （有効数字3桁）
（２）円周率：　π＝3.14　→　有効数字3桁

ということで、これと同等の有効数字の質量の値とするには

　　有効数字3桁　→　28　±　0.1　g

で測定すればよい、ということでは？

　何を測定してどのような式で何を求めるか、という精度伝搬の問題ではなく、単純に同等の精度で値をそろえましょう、という風に読めますので。

　ただ、「課題」だとすると、そう単純に言っては得点が低そうなので、「半径と質量を測定して、比重（密度）をできるだけ精度高く求める」というようなプロセスでどうするか、というような場合を想定して議論するとよいかもしれません。
　まあ、「πは3.14とする」というあたりで既に答は見えていますが。

　何の課題かを考えて論じてください。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

noel_lapin

まず、密度＝質量／半径^3なので、(質量の誤差)=3x(半径の誤差)程度まで質量を測れば十分、ということになります。ここで

１）　(１＋ｘ)^n≒１＋ｎｘなので半径の３乗の項が持つ誤差は半径の誤差の３倍です。

２）　（１＋ｘ）・（１＋ｙ）≒１＋（ｘ＋ｙ）なので、掛け算、割り算での誤差は和になります。

です。

質量の誤差＝０．１ｍｍ／１０ｍｍ・２８ｇ／３倍＝０．０９ｇなので（２）が正解。