誤差の割り算？

質問

物理の課題で誤差のある直径と誤差のある高さ、誤差のある重さを使って円柱の密度を求める問題が出されました。
直径、高さは平均値とその確立誤差を求めてそれぞれ5.42±0.01cm、9.76±0.01cmと出ました。
その後体積は225±1立方cmと求めたのですがそれを1784.3±0.1gという重さから割る動作が分かりません。
何か特別な方法でもあるのでしょうか。
やり方だけでもいいのでアドバイスを頂けないでしょうか？
どうか宜しくお願いします。

回答No.1

Ta595 · ベストアンサー

こんにちは。大学生レベルとして回答しますね。
密度d，体積v，質量mとすれば，その誤差は，

Δd=∂d/∂v・Δv + ∂d/∂w・Δw

でよいのでは？vはさらに半径rと高さhで書き下す必要がありますが，ご質問から察するにそこはもう終わっている，ということですよね？（私は計算していないので，結果の正誤のほどは分かりませんが）
かなり不親切な回答ですが，これで考えてみてくださいね(^^

＊おかしいとお気づきの方がいらっしゃいましたら，ぜひ補足ください。

お礼

回答ありがとうございます。
参考になりました。

回答No.3

shkwta

まず、確率誤差の定義ですが、つぎの解釈でよいですか？

測定値Aに誤差が含まれており、真値は(A+x)であるとする。xは確率変数と見なせる。50%の確率を有するxの範囲を確率誤差という。xが正規分布に従うとき、確率誤差はγσ(x) (σは標準偏差、γは定数で約0.67449)となる。

さて、
確率変数X=1+x, Y=1+y があってx, y が互いに独立で、それぞれ正規分布に従うとき、XYの分布を求めます。σ(x)<<1, σ(y)<<1 とします。
XY = (1+x)(1+y) = 1 + x + y + xy
ですが、xyは非常に小さいので無視し、x + y の分布だけ考えます。x + y の分散は、xの分散とyの分散の和です。標準偏差は分散の平方根ですから、
σ(x+y) = √{σ(x)^2 + σ(y)^2}

これは、割り算でも同じです。
X/Y ≒ (1 + x - y)
x - y の分布は、x + (-y)と同じで、yは平均0ですから符号を反転しても標準偏差は同じで
σ(x-y) = √{σ(x)^2 + σ(y)^2}

以上より、つぎのように計算できます。（定数γ倍になるだけなので、確率誤差でも標準偏差でも同じ式になります）

A, B, Cを平均値、r, s, tを確率誤差とし、r<<A, s<<B とします。

(A±r)×(B±s)＝(C±t) の場合、C=AB, t=AB√{(r/A)^2 + (s/B)^2}
(A±r)÷(B±s)＝(C±t) の場合、C=A/B, t=(A/B)√{(r/A)^2 + (s/B)^2}

すなわち、誤差が小さいときは、掛け算でも割り算でも誤差の扱いは同じになります。

お礼

回答ありがとうございます。
詳しい説明でうれしいです。

回答No.2

sunasearch

単純には、1784.3/225を基準として、

この基準からのずれ（すなわち誤差）が最大になる値を求める、

1784.4/224　で最大
1784.2/226　で最小

でこれが誤差になると考えれば良いのではないでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます
細かい数値のズレが出てしまいますが
大まかな数値を調べたいときには便利そうです。