誤差を含む数値同士を掛け算した時の誤差

質問

誤差を含む数値を足し算した時の誤差については、ここで「集積誤差」とか「累積誤差」とかをを調べて理解したのですが、掛け算の場合はどう考えたら宜しいのでしょうか？

例えば、ある液体を「ａ±ｈ 倍」に希釈したサンプルの濃度を測定したら「ｂ±ｉ g/L」であった。原液の全量が「ｃ±ｊ L」あるとき、全体に含まれている物質の量を「ｄ±ｋ g」と表わすと、当然 ｄ＝ａ×ｂ×ｃ ですが、誤差の部分 ±ｋ を計算するには、どうしたら良いでしょうか？

なお、このカテゴリーへは初めての書き込みです。不備がありましたら御指摘下さい。

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

一般にある量fがx1,x2,x3,・・・という量と

f=f(x1,x2,x3,・・・・)=x1^p1 x2^p2 x3^p3・・・・=Πi xi^pi

の関係にあるとき、xiの誤差をΔi, fの誤差をΔf、平均を<・>で表すとして

Δf/|<f>|=√[ Σi pi^2 (Δi/<xi>)^2]

の関係があります。(誤差の伝搬(伝播)の法則)

したがってこの問題の場合は

k = |d| √[(h/a)^2+(i/b)^2+(j/c)~2]

となります。

お礼

具体的に教えて頂きありがとうございました。
相対誤差が各数値の相対誤差の二乗和平方根になるという
ことだったんですね。
大変助かりました。ありがとうございます。

回答No.3

jamf0421

一般的に誤差の伝播は2変数の例A=A(x,y)でAの誤差がr、x, yの誤差がそれぞれr1,r2の時、
r^2={(∂A/∂x)r1}^2+{(∂A/∂y)r2}^2...(1)
となります。（多変数にしても全く同様です。）だからもしA=xyであって、xの誤差をΔx、yの誤差をΔyと書き、Aの誤差をΔAとするならば
∂A/∂x=y
∂A/∂y=x
(ΔA)^2=(y*Δx)^2+(x*Δy)^2
両辺をA^2=(x^2)*(y^2)で割ると
(ΔA/A)^2=(Δx/x)^2+(Δy/y)^2...(2)
となります。ただし、こうした計算はxとyが互いに独立な変数である、という条件が必要です。今の例で、もし万一希釈率と原液の量の間に、たとえば若干正の相関があるような操作をしていると(1)が不成立となります。

お礼

具体的に教えて頂きありがとうございました。
各数値が完全に独立でなければ成立しない関係だということにも
注意して取り扱う必要があることも分かりました。
ありがとうございます。

回答No.1

notnot

一番小さいと、(a-h)x(b-i)x(c-j)で、一番大きいと、(a+h)x(b+i)x(c+j)なのでその差が最大誤差になります。

お礼

御回答ありがとうございます。
確かに最大誤差はその通りなのですが、実際には３つの
測定値の全てが、誤差範囲の最大になっていたり、最小に
なっていたりという可能性はかなり低いと思いますので、
その辺りを考慮した誤差範囲が示せないものかと考えて
いました。
ありがとうございます。