Gaussの法則

質問

点電荷Qを囲む任意の閉曲面に対し∫E・ndS=Q/εが成立する事を
球の中心に点電荷がある仮定にして任意の閉曲面に拡張するのは理解できたのですが、
閉曲面を立方体とした時の証明ができません。
（Qは立方体の中心にあるとします）
Qを原点とした直交座標と
立方体の対称性から1つの面を1/4（縦横2×2）に分けたものを使って
考えていたのですが
積分計算でつまずいてしまったんです。
どなたか御回答お願いいたします。

回答No.2

ryn · ベストアンサー

デカルト座標の積分で右辺を導きたいということでしょうか？

立方体を -L ≦ x,y,z ≦ L の表面とします．
soheichan さんが書かれているように対称性を用い
x = L の面上の
　0 ≦ y ≦ L , 0 ≦ z ≦ L
の範囲で積分した結果を 24 倍することにします．

まずは，立方体の表面 (x,y,z) = (L,y,z) の位置での電場は
　E = Q/(4πε)*(L^2 + y^2 + z^2)^(-3/2) * (L*i + y*j + z*k)
　　　（i,j,k はそれぞれx,y,z方向の単位ベクトル）
となります．

すると
　∫E・ndS = Qa/(4πε)*∫(L^2 + y^2 + z^2)^(-3/2)dydz
となりますね．
積分範囲は 0 ≦ y ≦ L , 0 ≦ z ≦ L です．

式を全部書くと大変なので方針だけ書きます．
(1) z = √(L^2 + y^2) * tanθ　とおいて置換積分．
　　0 ≦ θ ≦ Arctan(L/√(L^2 + y^2))
　　0 ≦ y ≦ L

ここまでで残るは y の積分だけです．
(2) φ = Arctan(L/√(L^2 + y^2)) とおいて置換積分．
　　π/4 ≦ φ ≦ Arctan(1/√2)

まだ汚いので
(3) t = √(cos(2φ)) とおいて置換積分．
　　1/√3 ≧ t ≧ 0
ここまで計算すると，
　Q/(4πε)*∫dt/(1+t^2)　　　　　　　　（0 ≦ t ≦ 1/√3）
となります．

ここまで持ってくればあとは常套手段ですね．
最終的に，めでたく
　（左辺）= Q/(24ε)
になります．

y についての積分は何度も置換積分していますので
結果的にはそれらをまとめて一回の置換でも出来ることになりますが，
自然に思いつくもので進めていくと，こういった感じになるかと思います．

お礼

つたない質問文から汲み取っていただき申し訳ないです。
方針だけでも知りたかったので大変参考になりました。
御回答ありがとうございました。

回答No.1

keyguy

電荷位置を原点にして立方体に入るほど小さな半径rの球の表面の電界は半径方向向きに
E=Q/r^2/4/π/ε
です
そこではガウスが成り立ちます
その球面を十分細かく分割して立方体表面に投影すれば言いのです
その球面上微小面積のE・nの積分が投影面積のE・nの積分に等しいことは言えるでしょう

お礼

ご回答ありがとうございます。
ただ、立方体に限定した場合が分からなかったんです。
質問文が分かりにくかったようで申し訳ありません。