コンデンサーの静電エネルギーと抵抗の関係

質問

某大学過去問を解いていて質問です。

「同じ電気容量の平行板コンデンサーＡ、Ｂがあり、一方のコンデンサーＡを電源につないで充電後に電源から切り離し、この図のように放電してあるＢと導線で接続してある。一方の極板を接続する導線には抵抗が挿入してあり、他方は導線のみである。十分に時間がたって極板間の電位差が変化しなくなったとき、それぞれに蓄えられる静電エネルギーＵＡとＵＢの和は、接続に用いた抵抗の抵抗値と関係あるか。」

という問いに対し、模範解答は「関係ない。接続してから十分に時間がたった後にコンデンサーＡとＢに蓄えられる電気量は、コンデンサーの電気容量で決まり、抵抗値には無関係だからである。」とあります。式では

「
ＵＡ＝ｑ１Ｖ’／２＝ｑ１＾２／（２Ｃ’）＝Ｑ’＾２／（８Ｃ’）
ＵＢ＝ｑ２Ｖ’／２＝ｑ２^２／（２Ｃ’）＝Ｑ’＾２／（８Ｃ’）
これよりＵＡ＋ＵＢ＝Ｑ’^２／（４Ｃ’）

となり、抵抗の値に関係ない。」

とあります。確かに式を見ればそうなるのはわかるのですが、イメージの面でひっかかります。コンデンサーＡからＢに電子が移動するとき、抵抗を通るはずだから、ジュール熱が発生しそうなので、静電エネルギーの総和は抵抗が大きければ大きいほど減ってしまいそうな気がするのですが、ジュール熱でエネルギーは損失しないのでしょうか。ご教授お願いいたします。

回答No.2

foobar · ベストアンサー

抵抗が大きくなると、抵抗を流れる電流iが小さくなります。（抵抗に反比例。）
同時に、電荷が移動するのに必要な時間Tは、抵抗に比例して長くなります。（T∝R。）
結果、抵抗での発熱p=i^2R∝1/Rと抵抗に反比例し、抵抗で消費する全エネルギーU∝ｐ＊TはRにかかわらす一定になります。

回答No.4

ORUKA1951

No.1です。説明をはしょったのでわかりにくかったかも。
　要は、月と地球の間に位置エネルギーがあって、月の上で石を落としたって地球と月の位置エネルギーは変化しないという事です。
　もちろん、AとB左右の電極間の位置エネルギーは消費されますよ。

回答No.3

rnakamra

イメージ自体少しおかしい。
つなげた直後では抵抗での単位時間当たりの損失は抵抗が小さいほど大きくなります。
なぜなら抵抗が大きいとそれに反比例して電流が小さくなります。(つなげた直後であれば電圧は電源電圧と等しく一定です)
単位時間当たりの損失Pは
P=R*I^2
ですのでRがa倍になるとIが1/a倍となりPは1/a倍となります。

上の内容はあくまで線をつなげた直後のことですが、時間がたつとその変化に違いが現れます。
抵抗が大きいと電流が小さくなり、Aの極板にたまっている電荷の減少は遅くなります。そのため電圧の減少が遅く、その分長時間発熱します。
抵抗が小さいと電流が大きくなり、Aの極板にたまっている電荷は速く中和され減少します。発熱時間は短くなります。

まとめると
抵抗が大きいと最初のうちは発熱が小さいが長時間発熱し続ける。
抵抗が小さいと最初は大きな発熱をするがすぐに発熱が止まる。
となり、トータルで見ると発熱量は等しくなります。

厳密な計算をするにはこの回路に流れる電流を時間の式で表すため微分方程式を立てます。この微分方程式を解くと電流Iを時間tの関数として得られます。
得られた電流から電力Pを求め、Pを時間について0～∞の間積分すると総発熱量が得られます。

回答No.1

ORUKA1951

上側の電極間の位置エネルギーは変化しますが、下側とのエネルギーとは無縁
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