電池に繋いだままのコンデンサーへの仕事

質問

コンデンサーの問題で、起電力Vの電池につないだまま、電気容量Cの極板で、極板間隔をdから3dに変えたとき、外力のした仕事はなぜ正になるのでしょうか。 静電エネルギーの変化量が外力のした仕事に等しいなら、静電エネルギーの変化は、極板間隔が3dのときとdの時の変化の前後の差をとると、負の値になると考えました。また、回路には抵抗は無く、電池とコンデンサーのみの回路です。

回答No.3

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＞静電エネルギーの変化量が外力のした仕事に等しい・・・

　この考えは、エネルギー保存則に基づくものです。エネルギー保存則は大変便利ですが、消去法的な使われ方をするので、仕事の方向と仕事の発生源を明確にしておく必要があります。またエネルギー保存則はコンデンサーだけでなく、系のエネルギー収支を扱う一般的な方法です。そういうわけで、まず熱力学の例で考えてみます。

　添付図の上側は、いわゆるピストンによって気体を圧縮する良く出てくる例です。最初に隔壁が「(a) 断熱」の場合の断熱圧縮を考えます。ピストンの移動量をΔxとした時、外力Fが隔壁内部の気体にする仕事は、ΔxとFの方向が同じなのでW[外力]＝F･Δxです。このとき気体の圧力pも、同時に仕事をします。ただしこの仕事は、「隔壁外部への仕事」です。ピストンの面積をSとすれば、W[圧力]＝－Sp･Δx。符号がマイナスなのは、Δxとpの方向が「逆」だからです。
　よって圧力は、外部に対して負の仕事をします。外部に対して負の仕事をしたという事は、外部のエネルギーを奪ったという事なので内部の気体は、外部から仕事をもらった事になります。
　その原因は？と考えた時、隔壁は「(a) 断熱」の断熱圧縮ですから、熱源があったとしてもそれとは無関係です。従って「消去法」により「エネルギー保存則」を考慮して、原因は外力による仕事W[外力]しかありません。W[圧力]は気体自身がする仕事なので、それは気体の内部エネルギーの変化に直結します。そこでW[圧力]とW[外力]の関係を考えます。
　ここで出てくるのが「無限にゆっくり圧縮する」という鬱陶しい仮定です(^^;)。圧力と外力は、直接的にはピストンに対して仕事をしますが「無限にゆっくり」なので、ピストンは圧縮過程を通じて止まってるも同然です。という事は、FとSpは常に釣り合ってる必要があります。従って|W[圧力]|＝|W[外力]|という事になります。
　W[圧力]は気体の内部エネルギーの変化に直結するのでした。またW[圧力]は気体へ（内部へ）仕事がなされた事を示していました。まとめると目出度く、

　　W[外力] ＝ [気体の内部エネルギーの変化]　　　1)

が得られます。気体は仕事をもらって、圧力と温度が上がり内部エネルギーは増加します。

　次に例として等圧圧縮を考えましょう。断熱圧縮では外力による仕事で圧力が上昇するので、圧力を下げるために隔壁は放熱する必要があります。つなり「(b) 伝熱」のケースになります。これは外部に熱を放出するという事なので、熱源という考えが出てきます（普通は加熱ですけれど(^^;)）従って「エネルギー保存則」の使用には、熱源のした仕事W[熱源]の考慮も必要になってきます。この流れも、一種の「消去法的考え」と思えませんか？。
　ところで熱源のした仕事ってのは、ピンと来ないかも知れませんね。どこも動かないから。そこで、

　　・仕事とは、エネルギーの移動量（符号あり）の事だ！。

と定義するわけです。1)を見れば、熱源も考慮した場合、

　　W[熱源] ＋ W[外力] ＝ [気体の内部エネルギーの変化]　　　2)

なのは、ほぼ明らかと思えませんか？。2)の場合、[気体の内部エネルギーの変化]はW[外力]に、等しくありません。
　[気体の内部エネルギー]は温度に比例するのがわかってますから、状態方程式などを利用して、どれだけのエネルギーを熱源に返すか（放熱するか）も計算できる事になります。

　以上の話と、コンデンサーの静電エネルギー（内部エネルギー）とのアナロジーは可能です（添付図下側）。最初にスイッチが「(a) off」の場合を考えます。極板間の距離をΔx増加させた時、コンデンサーに対して外力は、W[外力]＝F･Δxの仕事をします。このとき同時に極板間の電気力pは、W[電気力]＝－Sp･Δxの仕事をします。Sは極板面積で符号がマイナスなのは、Δxとpの方向が「逆」だから。そしてこれは、コンデンサーが外部に対してする仕事です。符号はマイナスだから、コンデンサーは外部のエネルギーを奪った。
　極板間距離の増加は「無限にゆっくり」行われるので、外力Fと電気力Spは釣り合っていなければならない。電気力のなす仕事はコンデンサーの静電エネルギー（内部エネルギー）の変化に直結するはず。その変化はスイッチoffだから電源（電池）とは無関係で、「消去法」により「エネルギー保存則」を考慮して、

　　W[外力] ＝ [静電エネルギーの変化]　　　1')

　じっさいスイッチoffならば、コンデンサーの帯電量Qは変化せずQ＝CVで、静電容量Cは極板間距離dに逆比例して減少するので、電圧Vはdに比例して増加するという（意外な？）結果が得られ、U＝C/2×V^2より、静電エネルギーUは増加します（断熱圧縮に対応してる）。

　スイッチが「(b) on」なら今度は等電圧過程となり、等圧圧縮に対応する形になります。スイッチoffだと電圧が上昇するので、等電圧にするためには電荷を逃がさなければならないから、スイッチは「(b) on」。そうすると、電源（電池）がした仕事も考慮しなければならない。コンデンサーの充電過程を考えれば、電源は確実にコンデンサーに対して仕事をしているので。ゆえに、

　　W[電源] ＋ W[外力] ＝ [静電エネルギーの変化]　　　2')

　2')の場合も、[静電エネルギーの変化]はW[外力]に、「等しくない」という結論です。
　[静電エネルギーの変化]は、U＝C/2×V^2にC＝ε×S/dを適用して（ε：誘電率，V一定）計算できる。W[外力]も当然計算できる。従って、コンデンサーの放電量（どれだけ電池にエネルギーを返したか）も計算できる事になります。

　まとめると、
　　(1) 外力の仕事の正負は、外力の方向と極板の移動方向だけで決まる．
　　(2) 仕事の方向（何に対する仕事か）と仕事の発生源を明確にすれば、結論は意外でも決して(1)は矛盾しない．
　　(3) 「エネルギー保存則」は「消去法的発想」で使われるので、(2)を明確にするのが重要．

・・・となります(^^;)。

回答No.2

maskoto

確かに
極板間隔を広げると
コンデンサーは静電エネルギーが減少します。
この時、蓄えていた電荷も減少
減少した分は電源に戻るのです
つまり、コンデンサーの静電エネルギーは電源に戻ると言うことです
このとき、移動した電荷の量から
電源が得たエネルギーの絶対値と
コンデンサーが失ったエネルギーの絶対値を計算してみてください
電源が得たエネルギーのほうが大きいはずです
どうしてそうなるかと言うと、
外力がした仕事も電源のエネルギーに加えられるからです
このことから、外力のした仕事は正です

回答No.1

hiro_1116

極板は＋と－なので引きつけ合っていますよね？その力に逆らって距離を広げるのですから正の仕事ということですね。