中学受験 滝の過去問

質問

0から59までの目盛りで60等分されている時計があります。たとえば、時計が午後1時0分のとき、右の図のように長針は０を、短針は５を指し、どちらもちょうど目盛りを指しています。次の問いに答えなさい。
（1）　時計が午後２時４８分のとき、長針と短針が作る小さい方の角は何度ですか。
（2）長針も短針もちょうど目盛りを指している状態は、何分ごとに起こりますか。
（3）　長針も短針もちょうど目盛りを指していて、その差が2目盛りとなっている時刻は、午後３時から午後６時まででは、何時何分のときですか。

（3）番目の方が分かりませんので、どなたか教えてください、宜しくお願いします。

回答No.3

KEIS050162 · ベストアンサー

旅人算を応用してみます。
長針は、３時、４時、５時の時は必ず０の位置にいますので、この時、長針と短針が作る角度から、２目盛分離れたところに追いつく（または追い越す）ところまで長針が追いつく場合を考えて見ます。
１分間に、長針と短針の差は、１－１／１２＝１１／１２　目盛縮まります。

３時調度のとき、長針と短針は５×３＝１５目盛離れているので、１３目盛追いついて２目盛長針が後に来るか、
１７目盛差が縮まって（追い越して）、２目盛長針が先に進んでいる状態を計算して、短針が調度のところに居るかどうか確認してみます。

(1)長針が２目盛後　１３÷１１／１２
(2)長針が２目盛先　１７÷１１／１２
これらは計算するまでもなく、短針が調度の位置に居ません。（整数にならない）

同様に、４時のとき、５時のときで考えると、

４時の時、（２０－２もしくは２０＋２）
(3)１８÷１１／１２
(4)２２÷１１／１２

５時の時、（２５－２もしくは２５＋２）
(5)２３÷１１／１２
(6)２７÷１１／１２

この内、(4)のケースがうまく行きそうなことが分かりますので、計算してみると、

２２÷１１／１２　＝　２４

従って、４時２４分。

【検算】
問題の（１）の要領で、長針と短針の角度を計算する。
（３６０／６０）×２４　－　［３６０／（１２×６０）］×（４×６０＋２４）　＝　１４４－１３２＝１２°
１２÷（３６０／６０）＝２　目盛

お礼

丁寧で親身なご回答ありがとうございました。とても参考になりました。

回答No.4

noname#227653

時計算の基本は「１分たつと長針と短針の間の角度が5.5度ずつ増えたり減ったりする」ですよね。この問題では長針と短針の間が２目盛になっているということですから、角度でいうと12度開いているということになりますね。長針と短針の間の角度が12度増えたり減ったりするのに何分かかるかというと、これは12÷5.5で出せますね。２と2/11分です。とすると、長針と短針が重なる２と2/11分前か、２と2/11分後か、どちらかになりますね。
そして、長針が目盛をさしているということは、答えになる時刻が整数になるということですね。
あとは3時から6時までの間で、長針と短針が重なる時刻を調べればいいしょう。これは時計算の基本をマスターしていれば簡単に出せますね。
3時台ですと90÷5.5で16と4/11分です。この時刻に長針と短針が重なるのですから、その２と2/11分前か2と2/11分後が整数になればいいのですが、これは整数になりませんね。２と2/11分を引くと14と2/11分になってしまいますし、2と2/11分を足すと18と6/11分になってしまいます。
では4時台はどうでしょう。120÷5.5で21と9/11分ですね。これに２と2/11分を足すと整数になりますね。24分です。だから、答えは4時24分ということになりますね。5時台は調べずにすみました。

いかがでしょうか。わかりにくいところがあったら補足をつけて下さい。

お礼

丁寧で親身なご回答ありがとうございました。とても参考になりました。

回答No.2

ask-it-aurora

前の回答にあるように全部数え上げて確かめるのが，わかりやすいと思います．もし合同式の扱いに慣れているなら次のように計算だけで済ませることもできます．

長針は毎分，短針は12分毎に目盛りを指していることに注意します．したがって針が共に目盛りを指している時刻は午後3時から12t分後だけです(ここでt = 0, 1, …, 15)．12分で長針1目盛り，短針は12目盛り進み，短針は始め0時からみて15目盛りのところにあるので，その差は
12t - (t + 15) mod 60
と表せます．まず差が±2となるtを求め，そのあとtの取りうる値を考えて解を決めます．

まず12t - (t + 15) ≡ ±2 (mod 60)を解きます．
11t ≡ 15 ± 2 (mod 60)
11 * 11 ≡ 1 (mod 60) に注意して
t ≡ 11 * (15 ± 2) ≡ 7, 23 (mod 60)
を得ます．tの取りうる値0, 1, …, 15を考えると，解はt = 7の場合だけです．

以上から与えられた条件を満たすのは午後3時から12t = 12 * 7 = 84分後の午後4時24分とわかります．

お礼

ご回答して頂きありがとうございます。

回答No.1

asuncion

どちらもちょうど目盛りを指すのが
何分ごとに発生するかがわかっているなら、
3時から6時までの候補時刻について
全部調べればよいと思います。

お礼

ご回答して頂きありがとうございます。