微分方程式

質問

次の微分方程式の解き方が分からずに困っています。よろしくお願いします。

1) (3x-y+4)y'=6x-2y-1
2) y'+ycos(x)=e^(-sin(x))
3) x+yy'=ay （a：定数）

回答No.2

kiyos06 · ベストアンサー

1.0) (3x -y +4)dy/dx =6x -2y -1
1.1)y =z +ax +bとする。
1.1.1) (-z +(-a +3)x -b +4)(dz/dx +a) +2z +(2a -6)x +2b +1 =0
1.2) (-z +(-a +3)x -b +4)dz/dx +(-a +2)z +(-a +2)(a -3)x -ab +4a +2b +1 =0
1.3)a -3 =0, -b +4 =0となるa,bを選ぶ。a =3, b =4
1.3.1) -z dz/dx -z +9 =0
1.4)z/(z -9) dz/dx =-1
1.5) ( 1 +9/(z -9) ) dz/dx =-1
1.6)z +9log(z -9) +x +c =0
1.7)y -2x +9log(y -3x -13) +c =0

2.0)dy/dx +ycosx =e^(-sinx)
2.1)y =e^f(x) zとする。
2.1.1)e^f(x) (dz/dx +f'(x) z) +e^f(x) cosx z =e^(-sinx)
2.2)f'(x) +cosx =0となるfを選ぶ。f'(x) =-cosx, f(x) =-sinx
2.2.1)dz/dx =1
2.3)y =(x +c) e^(-sinx)

3.0)x +ydy/dx =ay
3.1)dy/dx =a -x/y
3.2)y =xzとする。
3.2.1)xdz/dx +z =a -1/z
3.3)xdz/dx =a -z -1/z
3.4)z/(z^2 -az +1) dz/dx =-1/x
3.5) (k1/(z -a1) +k2/(z -a2)) dz/dx =-1/x
...

補足

１）と２）は何とか解けました。
あと３）だけがよく分かりません。。。

回答No.3

kiyos06

3.0)x +ydy/dx =ay
...
3.5.1)a1 a2 =1
3.5.2)a1 +a2 =a
3.5.3)k1 +k2 =1
3.5.4)k2 a1 +k1 a2 =0
3.6)k1 log(z -a1) +k2 log(z -a2) =-logx +c
3.7) (z -a1)^k1 (z -a2)^k2 x =C

回答No.1

Tacosan

2 は公式に突っ込むだけだねぇ.

1 と 3 は y' について解けば道筋が分かるんじゃないかな.

補足

３）だけがイマイチ上手く行きません。。。。