大学の微積分困ってる。お願いします

質問

お願いいたします。。大学の微積分で。

f(x)は連続かつ単調減少で、 f(x)>0.
{積分の f(x)dx(1から n まで)}<f(1)+f(２)+.....+f(n)<{積分の f(x)dx (1から n まで)}+f(1)が成り立つことを示せ。。

回答No.2

178-tall

n
∫ f(x)dx　　　　…(0)
　1

＜ f(1)+f(2)+.....+f(n)　　…(1)

　　　　　 　n
＜ f(1) + ∫ f(x)dx　　　…(2)
　　　　　 　1

まず (1) の f(m) だが？
おそらく、整数 m ごとに m≦x < m+1 にて f(x) = f(m) 、他の x では f(x) = 0 、という定義…だろう。
ならば、題意「f(x)は連続かつ単調減少で、f(x)>0」により、整数 m ごとに細分した区間内にて、
　m+1　　　　 m+1
∫ f(x)dx ＜ ∫ f(m)dx = f(m)
　m　　　　 　　m
が成立つ。

(2) はどう利用されるのか見当つかず、興味あり。
証明だけなら？

f(x)は単調減少だが f(x) > 0 にとどまる、という。
ならば、積分 (0) から (1) への増分は、f(1) を超えないはず…という論法でいかが？

(連続・単調減少の f(x) のカーブと細分短冊の略図でも描いて、観察してみて)

お礼

ありがとうございました。。

回答No.1

naniwacchi

真ん中の項を長方形の面積の和として考える。
高校生でも証明できるかも？

お礼

分かりました。ありがとうございました。。