上積分、下積分

質問

できたら今日中に回答していただけたらありがたいです。

[0,1]上の関数ｆ（ｘ）を
f(x)={1(xは有理数)、０（ｘは無理数）}と定義する。

ｆの[0,1]上の上積分∫f(x)dx（ｘは０から１まで）、下積分∫f(x)dx（Xは０から１まで）を求めよ。

回答No.1

noname#24477

上積分
区間[０，１]をｎ等分してその区間内の上限（今は最大値と同じ）と区間の幅とをかけたものの和を考える。
区間をどのように分割しても必ず有理数が含まれるから
すべての区間で最大値は１
すると
和（分割された区間）*1＝（全区間）*1＝１
ｎ→∞の極限を取るのだが、答がすでにｎに関係のない
定数になっているので極限値も同じ

下積分
同じように、どのように分割しても無理数は含まれるから
すべての区間で下限（最小値）は０
和（分割された区間）*0＝（全区間）*0＝０

あえて記号を使わないで書きました。使うと書くのが
面倒ということも有りますが。

この場合上積分と下積分の答が違うので普通の意味での
積分（リーマン積分）は出来ない。

私が上積分の意味を取り違えていなければこれで良いと
思います。