自然対数の公式

質問

x << 1の条件で、ln(x-1)＝x-1みたいなlnが外れる公式が
あったような気がするのですが、合っていますか？
間違っていたら、正しい公式を教えてください。

おねがしします。

回答No.2

178-tall · ベストアンサー

テイラー級数　LN(1+x) = x-x^2+…　の x^2 以下を無視できれば、LN(x)≒ x-1　でしょうね。

x^1 の範囲で近似範囲をひろげるには？
Pade 近似　e^x≒(2+x)/(2-x)　を借用した　LN(x)≒ 2*(x-1)/(x+1)　が実務でも使用されてます。

数値例
　テイラー： LN(1.4)≒ 0.400
　Pade　： LN(1.4)≒ 0.333
---------------------------
　cf.　： LN(1.4)≒ 0.336

補足

すいません。
具体的には、R＝γln|t-a-ta|を t<<a<<1 の条件で
R＝γt(1-1/a)と近似する問題です。たぶん、tは変数で、aは定数です。

回答No.6

178-tall

逆の憶測をすれば、

　LN | (t-a-ta)/a|≒ t(1-1/a)

なら成立しそう…ということ。

回答No.5

178-tall

>具体的には、R＝γln|t-a-ta|を t<<a<<1 の条件で
>R＝γt(1-1/a)と近似する問題です。たぶん、tは変数で、aは定数です。

つまり、t≪a≪1 のとき、
　LN|t-a-ta|≒t(1-1/a)
ということ？

s = t(1-1/a) として整形すれば、
　LN|a*(s+1)| ≒ s　　　…(S)
になる。
もし 0 < t≪a≪1 なら、s < 0 。
また、
　LN|a*(s+1)| = LN(a) + LN|(s+1)| ≒ s
左辺には {a, s} が現れるが、右辺は {s} のみ。

ほかに何か条件でもないと、成立ちそうありません。

回答No.4

noname#199771

「t<<a<<1」というのが-∞<t<a<1という意味
でも0<t<a<1でもない「何か」なのかよくわか
りませんが・・・

とにかくa≠0とみて
t-a-ta=-a(1+t(1-1/a))

と変形してx=t(1-1/a)とおき、符号の扱いに
注意しつつもし|x|<1がいえれば#1のリンク先
の式を使ってみるといいことがありそうです。

回答No.3

htms42

ｘ＜＜１のとき
ln(１＋ｘ)≒ｘ

物理でも化学でもよく使います。

回答No.1

noname#199771

「x << 1」というのがよくわかりませんが
x<1ならx-1<0となって左辺は実数になりません。

超能力を発揮してたぶん↓みたいなことが聞き
たいのではないかと推測します。

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suuretu/maclaurin/henkan-tex.cgi?target=/math/category/suuretu/maclaurin/maclaurin_logx.html

お礼

解決しました。
ありがとうございました。

補足

すいません。
具体的には、R＝γln|t-a-ta|を t<<a<<1 の条件で
R＝γt(1-1/a)と近似する問題です。たぶん、tは変数で、aは定数です。