自然対数が入った方程式の解法

質問

以下の式を変換する方法が分からなくて、質問させていただきます。

x = y + ln(1+y)

上記の式を　y = f(x)　に変換することは可能でしょうか？
解法がありましたら、ご回答よろしくお願いいたします。

回答No.3

178-tall · ベストアンサー

>x = y + ln(1+y)
…にて「x の数値を与えたときの y を知りたい」というのなら、たとえば Newton の逐次解法。

近似解 yo を与えて yo + ln(1+yo) = xo を求め、食違い dxo = x - xo と、
右辺の y - 勾配：1 - 1/(1+yo) = yo' とから、改善近似解 y1 を
　　y1 = yo + dxo/yo'
を勘定。
これを、延々と続ける。

あるいは、
　y = x - ln(1+y)
と変形して、両辺の不動点 y に収束させる手も…。

EXCEL で試行してみると、収束は前者が速く、セル作成は後者が楽。

お礼

具体的な近似解を求める解法を教えていただき、ありがとうございました。

xが与えられた時のyの値を見つけたかったため、y=f(x)という変換に固執しておりました。
EXCELで試行し、確かに収束が早く近似解が求められることも確認いたしました。

ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

1 + x = (1 + y) + ln(1 + y) を経て、
e^(1 + x) = (1 + y) exp(1 + y) と変形できますね。
よって、Lanbert の W 関数を使って、
1 + y = W( e^(1 + x) ) です。

y = -1 + W( e^(1 + x) ).

参考 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AEW%E9%96%A2%E6%95%B0

お礼

ご返答ありがとうございました。
初等関数の範囲ではないというということがよくわかりました。
近似解を得られるように、W関数についても勉強していきたいと思います。

回答No.1

springside

不可能です。