ミクロ経済学 生産関数

質問

生産関数がｙ＝Ｘ１^1/2Ｘ２^1/2、生産要素の価格をｗ１、ｗ２としたときに
費用最小化を実現するような費用関数を求める

わかりません
お願いします

回答No.2

statecollege · ベストアンサー

同じような質問（コブダグラス生産関数のもとでの費用最小化問題）に回答したことがあります。

　　　http://okwave.jp/qa/q8295332.html

を参照してください。
なお、No.1さんの回答は途中まで正しいのですが、結論のところ

「ただし今回の問題はやや特殊で生産関数が一次同次ですが、この場合費用関数は要素価格から独立で、生産量の関数になるはずです。」

の最後のところは正しくありませんので注意してください。費用関数が要素価格に依存しないで、生産量だけの関数になるということはありえません。
ラグランジ法でも、代入法でもかまいませんが、まず費用最小化の1階の条件が

　∂y/∂X1/∂y/∂X2　= w1/w2

となることを求めてください。ここで、∂ｙ/∂X1 = (1/2)X1^(-1/2)・X2^(1/2), ∂y/∂X2 = (1/2)X1^(1/2)・X2^(-1/2)であるから、あなたの生産関数の場合、1階の条件は結局

　　　x2/x1 = w1/w2

すなわち、

(1)　　　x2 = (w1/w2)x1

となる。これを生産関数に代入して

　　　ｙ = (w1/w2)^(1/2)・x1^(1/2)

よってx1について解くと

(2)　　　x1 = (w2/w1)^(1/2)・ｙ

を得る。（２）を（１）に代入すると

(3)　　　　x2 = (w1/w2)^(1/2)・ｙ

を得る。(2)と(3)を費用方程式（等費用曲線）

　　　C = w1x1 +　w2X2

のｘ１とｘ２に代入すると、最小費用関数

　　C = 2・（w1ｗ2）＾(1/2)・y

を得る。最小費用は生産量ｙと要素価格ｗ１とｗ２の両方に依存する関数です。
なお、
　　http://okwave.jp/qa/q8295332.html

についていうと、そこのγはこの場合γ＝2（w1w2）^(1/2)となることを確かめられたい。

お礼

すばらしくわかりやすかったです！

回答No.4

statecollege

No2への補足です。No1の回答者さんが言いたかったことは、以下のことではないでしょうか？生産関数が（あなの問題のように）規模に関して一定（つまり、1次同次）であるときは、（最小）費用関数は生産量ｙに関してリニアで、

　　C =γｙ

とあらわされる。ここで、γは要素価格が与えられると一定で、ｙとは独立である。したがって、平均費用ACも限界費用もMC

　　AC≡C/y＝γ
　　MC ≡ｄC/dy =γ

と、一定かつ互いに等しくなる、ということです。なお、γ＝2(w1w2)^(1/2)で、要素価格だけに依存し、ｙとは独立の値である。この費用関数のもとで、この企業の生産要素への需要、この企業の生産量がどうなるかはNo2で示したURLを見てください。

お礼

ありがとございます

回答No.3

moguraduka

失礼しました、２番の回答者様のご指摘通りです・・・。

回答No.1

moguraduka

おはようございます！質問に書かれていませんが、市場は完全競争ということで話を進めます…。従って与えられた価格は所与一定値です。また、生産期間は長期（固定生産要素なし）として話を始めます。費用最小化問題を定式化すれば

min w(1)x(1)+ w(2)X(2)
subject to y = ( X1^(1/2) ) * ( X2^(1/2) )

となります。言葉によって補足すると、「生産関数を制約条件とし、`ある生産量`が与えられたとき、その生産量を最小の費用で達成するような`要素投入量の組み合わせ`を選べ。」というのが費用最小化問題の意味です。

例えばy = y*なる生産量が与えられたならば、
( X1^(1/2) ) * ( X2^(1/2) ) = y*
を満たすX(1),X(2)の組み合わせの中から、w(1)X(1) + w(2)X(2)を最小化するようなX1,X2の組み合わせを選ぶことになります。この費用最小化問題は、ラグランジュ未定乗数法などで解くことができます。

そして費用関数ですが、こちらは上記の費用最小化問題を解くことでも得られます。「ある生産量を最小の費用で達成したときの、総費用の値」が費用関数の値であり、生産量と要素価格の関数となります。

ただし今回の問題はやや特殊で生産関数が一次同次ですが、この場合費用関数は要素価格から独立で、生産量の関数になるはずです。

お礼

ありがとうございます