ミクロ経済学、生産関数分かる方教えてください。

質問

X=3L^(2/3) K^(1/3)の企業がある。労働賃金が2000円、資本レンタル料が1000円とすると、90単位生産するときの最小の費用はいくらか？

この問題が分からなく躓いてます。
どなたか教えてくださいよろしくお願いします。

回答No.1

noname#243948

どの程度の理解があるのかが不明なので、少し詳しく(何度も説明してうるさいとは思いますが)書きます。このような問題にはいくつかの解き方があります。大学の学部レベルではラグランジェ未定乗数法という手法を習います(興味があるようであれば知らべてみてください)。計算を書くのが少しばかり面倒なので今回はシンプルな計算方法で解きたいと思います。（厳密には数学的な問題を指摘されそうですが）
問題は以下のような式にまとめることができます。
　　　　　　　　minimize wL+rK :wは労働賃金、rは資本レンタルコスト、L労働量、Kは資本量
　　　　　　　　subject to X=3L^(2/3)K^(1/3)　　　:Xは生産量
上記2式に与えられた条件を代入すると
　　　　　　　　minimize 2000L+1000K　　　　 (1)
subject to 90-3L^(2/3)K^(1/3)=0　　　(2)
と書くことができます。(2)の条件の下で(1)を最小化せよという意味です。次に(2)を(1)に代入します。今回は(2)をK=の形にして代入をします。(2)はK=30^3*L^(-2)とできるので(1)に代入すると目的関数は
minimize 2000L+1000*30^3*L^(-2) (3)
と書くことができ、整理すると
minimize 2L+30^3*L^(-2) (4)
となります。次に(4)をLで微分します。微分をすると(4)は
　　　　　　　 2+30^3*(-2)L^(-3)
となり、整理すると
　　　　　　　　 2-2*(30/L)^3 (5)
となり(5)が0となるときに最小化となります。ゆえに、
　　　　　　　　　2-2*(30/L)^3 =0
(30/L)^3=1
費用最小化時のL=30
となります。この値を(2)に代入すると同じく費用最小化時のK=30が出ます。最後に費用最小化時のK=L=30を費用関数である(1)に代入すると
　　　　　　　　　2000*30+1000*30=90000
となりこの数値が答えとなります。
検算は何回かしましたが、もし計算ミスなどがあったら教えていただけると幸いです。