連立方程式

質問

b^2=36a
b=2a-8　という2式が有り、連立すると、
4a^2-32a+64=36a
4a^2-68a+64=0
a^2-17a+16=0
(a-1)(a-16)=0
a=1,16
a=1のとき、b^2=36aに代入してb=±6
a=16のとき、b=±24
となってしまいますが、答えはb=-6,24です。
なぜ答えがかわってしまうのでしょうか？
また、さいごでb=2a-8に代入すれば、答え通りになるのですが、
これは、b=2a-8に代入しないといけない決まりみたいなのは有るのでしょうか？
（個人的には検算と言う手はあまり使いたくないのですが・・・）
どうぞよろしくお願いします。

回答No.6

178-tall

一口で言うと、代入順序のせいで「答え」が 4 個になってしまったのです。

　b^2=36a は、非負の a を与えたとき 2 個の解 {+a, -a} をもつ。
　その a に b=2a-8 の関係を代入した a の方程式を解くと、相異なる 2 個の非負 a がえられた。
　だから、b^2=36a へ戻って {+a, -a} をとれば、「答え」が 4 個。

…という論法ですよね。

正解はその中の 2 個しかないので、残りはいわゆる「無縁根」。
その選別が不可欠になったのです。

ずばり 2 個の正解を得る手順の一例は、
　b=2a-8 から a=(b/2)+4 。
　これを b^2=36a の a に代入した b^2=18b+144 を解けば、解は 2 つ。
…というもの。

「答え」が 4 個になった時点では、その選別が不可欠なのです。

ANo.3 にて示唆した「b=±6√a とした場合」の例解でも、「√a の非正値解を排除」するという選別を要してます。
やはり、「無縁根」を生じる手順でした。

回答No.5

Tacosan

大事なのは, #1 にある「両方とも満たす数値を求める」というところ. つまり
「b=2a-8に代入しないといけない」
ではなく
「b=2a-8に*も*代入しないといけない」
です.

回答No.4

ORUKA1951

b^2=36a
b=2a-8
(2)式を二乗 (2a-8)² = 4a² -32a + 64←いずれにしろこの操作が問題!!
　4a²-32a+64 = b²
-)　　36a　　= b²　　　　(1)式を引くと
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　4a²-68a+64 = 0　　　　　÷4
　 a²-17a+16 = 0
　(a-16)(a-1)=0
∴ a=16 または、a=1

(代入)
b²= 36(16)　　　　b²=36(1)
b = 2(16)-8　 　　b = 2(1)-8
　↓　　　　　　　　　↓
b²= 576(b=±24)　 b²= 36　　・・b = ±6
b = 　4　　　　　 b = -6
成り立たない　　成り立つ

よって、a=1のときのbでなければならない。

逆から解くと
b^2=36a
b=2a-8
から
　 36a - b²　　= 0
　　2a - b　-8 = 0

　 36a　　 - 18b -144 = 0　(2)式×18
-) 36a - b²　　　　 　= 0 (1)式
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 　　b² -18b -144 = 0
(b-24)(b+6)=0
b=-6、または、b=24
／b^2=36a
＼b=2a-8
に代入
　b=-6
／(-6)^2=36a　　a=1
＼(-6)=2a-8　　 a=1

　b=24
／(-24)^2=36a　　a=16
＼(-24)=2a-8　　 a=-8

★検算というより、最初に消したほうを求めなきゃならないので・・

回答No.3

178-tall

既にご注意あるとおり、b^2=36a が曲者。

b=±6√a とするなどの手はありそう。
略図を描いてみるのが直感的か？

b=±6√a とした場合。
b=2a-8 へ代入して解くとき、√a の非正値解を排除すれば「無縁根」を回避できそうです。

お試しを。

回答No.2

shuu_01

この連立方程式を解くのは

横軸が b、縦軸が a のグラフで

a ＝ ( b^2 ) / 36
a ＝ b / 2 ＋ 4

のグラフの交わる点です

グラフは普通、x軸、y軸で考えるので

y ＝ ( x^2 ) / 36
y ＝ x / 2 ＋ 4

で考えた方が混乱しないかもしれません

y = 16 の時、交わる点は x = 24 の１点だけです

x = -24 は

y ＝ ( x^2 ) / 36 の上に乗ってますが、

y ＝ x / 2 ＋ 4 の上に乗ってないでしょう

回答No.1

shuu_01

連立方程式というのは

　b^2=36a
　b=2a-8

という２つの式、両方とも満たす数値を求める式です

片方だけ満たすのでは NG です

a ＝ 1、16 を求めるまでの道筋は正しいです

しかし、その後、b の値を求める時、

　b^2=36a

に代入しちゃうと今回のように プラスとマイナスの
２つの値が出てしまい、マイナスの方だと

　b=2a-8

を満たさなくなってします

なので、a の値が１意に決まる、

　　b=2a-8

の式を使って、a を求めるのです