微分積分の定義

質問

微分積分の定義を教えて下さい！
あとその内容が載っているサイトなどもありましたら教えて下さい！お願いします！

回答No.1

12m24 · ベストアンサー

微分の定義は、
　dy/dx=lim[Δx→0]{y(x+Δx)-y(x)}/Δx
　積分の定義は、
　int (dy/dx)dx=y　　（微分の積分は元の関数）
　となっています。
　微分と積分は互いに逆のことを行っているので、ここさえわかれば簡単になると思います。

回答No.2

grothendieck

積分の定義は大きく、リーマン式とルベーグ式に分けられ、ルベーグ式だけでも何通りもの定義の仕方があります。私もそのすべてを知っているわけではありませんが、一つの定義の仕方はf(x)を有界な可測関数とするとき、f(x)に測度的に収束する一様に有界な階段関数列{φn(x)}をとり、
　∫f(x)dx =lim∫φn(x)dx
とするものです。ここで階段関数の積分は通常のリーマン積分で定義されるものとします。
　積分の定義が何通りもあると書きましたが。
　∫(dy/dx)dx = y
というような定義の仕方はないと思います。教科書をもう一度見て下さい。微積分学の基本公式は連続関数に対してしか証明されていませんよ。つまり微分して積分しても元に戻らない関数があるのです。
　(Arctan(1/x))'=-1/(1+x^2)
ですが、
　∫[-1～1]dx/(1+x^2) = -Arctan(1/x)[-1,1]=-π/2
としては誤りで、正しくは、
　∫[-1～1]dx/(1+x^2) = Arctan(1/x)[-1,1]=π/2
です。これは -Arctan(1/x)がx=0で連続でないことによるのです。

お礼

ちょっと難しかったですけど教えていただきありがとうございました。