微分、積分

質問

Ｘの２乗を微分すると２Ｘになるのは、なぜですか。
微分、積分とは何ですか

回答No.1

miracle3535 · ベストアンサー

微分はその曲線の接線の変化角度を求めています。
一度、Ｘの二乗でＸ＝１とＸ＝１．００１でのｙの変化値から接線の角度を求めて見てください。
それと２ＸでＸ＝１との値を比較してみてください。

積分は、ある曲線で、Ｘ＝aからＸ＝bまでの面積を求められます。
会社に入ってから、円筒を斜めに切った場合の体積を求めるために、Ｘが変化することにより断面積を求める式を作成しました。
ＳＩＮ、ＣＯＳを含む積分式になってしまい、そこで断念せざるを得なかったのですが、
偶々大学によったので、数学の先生を訪ねて解き方を教えてもらいました。先生は式をみた瞬間これは近似式でなければ計算できない
と言って、近似式及び計算方法を教えてくれました。
そのお陰で仕事に活用できました。

回答No.2

inara

微分するということの意味をはっきりさせておいたほうがいいでしょう。

x を決めると y が自動的に決まるという関数 y = f(x) があるとします。x に特定の数（例えば2）を入れると 特定の y の値（例えば4）が出てくるとします。
この「例えば」は、問題の y = x^2 （yはxを２乗した値）という関数の例です。

この関数 f(x) を微分したものが f'(x) という新たな関数になったとすると、f'(x) というのは次の式で表されるというのが、「 f(x)を x で微分する 」の意味（お約束）です。

f'(x) とは、 hをゼロに限りなく近づけたときの {f(x+h)-f(x)}/h のこと --- [1]

h がゼロだったら、分母 = 0 なので f'(x) は無限大になってしまうじゃないかと思うかもしれませんが、実はそうはならないのです！

問題の関数 f(x) = x^2 で計算してみましょう。
f(x+h) = (x+h)^2 となることは分かりますね? これを展開すると、(x+h)^2 = x^2+2*x+h + h^2 ですね。ということは、 f(x+h) = x^2+2*x+h + h^2 となります。でしたら、式[1]はどうなるかというと、まず分子を計算しましょう。f(x+h)-f(x) = x^2+2*x+h + h^2 - f(x) = x^2+2*x+h + h^2 - x^2 = 2*x+h + h^2 となってx^2が消えてしまいます。式[1]の分母は h でしたから、{f(x+h)-f(x)}/h = (2*x+h + h^2)/h = 2*x + h です。

つまり f(x) = x^2 のとき、f'(x) は 「 hをゼロに限りなく近づけたときの 2*x + h 」になるわけです。この式で h をだんだんゼロに近づけるよりも、一気に h = 0 を入れたら、2*x になりますね。これが f(x) = x^2 を微分したときの新しい関数 f'(x) です。つまり、f(x) = x^2 のとき、 f'(x) は 2*x になるということです。

式[1]はf(x)がどんな関数であっても、「微分とはこういうこと」というお約束の式です。もし、f(x)が違う形で、例えば f(x) = 1/x だとした場合でも同じように計算すればいいわけです。

f(x) = 1/x のとき、式[1]を計算してみると、{f(x+h)-f(x)}/h = -1/{x*(x+h)} となるので、h = 0としたとき、これは -1/x^2 となります。つまり、 1/x をxで微分すると -1/x^2 になります。