円、数IIの問題

質問

円x^2＋y^2－18x－6y＋81=0 があたえられている

また点Ａ（ｐ ｑ）および点Ｂ（s t）がこの円外にうごく

△ＯＡＢがこの円を内接としてもつ直角三角形となるとき、直線ＡＢの方程式をもとめよ
ただしq<tとする

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞円x^2＋y^2－18x－6y＋81=0 があたえられている
（ｘ^2－１８ｘ＋８１）＋（ｙ^2－６ｙ＋９）＝９
（ｘ－９）^2＋（ｙ－３）^2＝３^2より、
中心（９，３），半径３の円で、ｘ軸に接する。
＞また点Ａ（ｐ ｑ）および点Ｂ（s t）がこの円外にうごく
＞△ＯＡＢがこの円を内接としてもつ直角三角形となるとき、直線ＡＢの方程式をもとめよ
＞ただしq<tとする
原点をＯとする。図を描くと、q<tから、ＯＢは原点を通る直線，ＯＡはｘ軸上で，ｓ＞９になる。
１）∠ＯＡＢ＝９０度のとき、ＡＢはｘ軸に垂直な直線で、円に接するから、
中心からの距離が半径３と同じであればいいから、ｘ＝１２
２）∠ＯＢＡ＝９０度のとき、
ＯＢ：ｙ＝ｍｘとおくと、ｍｘ－ｙ＝０
ＯＢは円の接線だから、中心からＯＢまでの距離は半径３と一致するから、
｜ｍ×９－３｜／√｛ｍ^2＋（－１）^2｝＝３
（９ｍ－３）^2＝９（ｍ^2＋１）
７２ｍ^2－５４ｍ＝０
１８ｍ（４ｍ－３）＝０
ｍ≠０より、ｍ＝３／４　よって、ＯＢはｙ＝（３／４）ｘ
Ｂ（s t）はＯＢ上の点だから、Ｂ（ｓ，(3/4)ｓ）

直線ＡＢはＯＢに垂直だから、傾き×（３／４）＝－１より、傾き＝－４／３
Ｂを通るから、
ｙ－(3/4)ｓ＝(-4/3)（ｘ－ｓ）より、
１６ｘ＋１２ｙ－２５ｓ＝０　……（１）
ＡＢは円の接線だから、中心からＡＢまでの距離は半径３と同じ
｜１６×９＋１２×３－２５ｓ｜／√（１６^2＋１２^2）＝３
｜１８０－２５ｓ｜＝３×２０＝６０
１８０－２５ｓ＝±６０
２５ｓ＝１８０±６０より、２５ｓ＝２４０，１２０より、
ｓ＝４８／５，２４／５　ｓ＞９なのはｓ＝４８／５
（１）へ代入して、１６ｘ＋１２ｙ－２４０＝０より、
よって、４ｘ＋３ｙ－６０＝０

以上より、直線ＡＢは、ｘ＝１２　または　４ｘ＋３ｙ－６０＝０
でどうでしょうか？