加法定理？

質問

以下のような問題がありました。

たて：横＝１：３の長方形を、左上をA,左下をBとして、長方形ABCDとする。AD上を３等分する点を、E,Fとする。(つまり、AE:EF:FB)また、BC上を３等分する点を、G、Hとする。(BG:GH:HC)そして、EGとFHの線分を引く。つまり、このとき正方形が３つ横に連なった形になっている。
このとき、∠BCDを∠a、∠GCDを∠bとすると、∠a+∠bは何か。

という問いで、答えは∠45°ということはすでにわかっています。私は中学生なので、本来は作図をして答える問題なのですが、知人で本来は高校で習うはずの加法定理(？)を使って解いてしまった人がいるのですが、そちらのほうの解き方を教えてください。先ほど中学生だと申しましたが、ある程度なら三角関数もできるので、あまり難しくない程度によろしくお願いします。

回答No.2

staratras · ベストアンサー

ご質問の図形ですと、明らかに
∠ＢＣＤ＝∠ＧＣＤ＝９０°となり
∠ａ＋∠ｂ＝１８０°ですが…。

∠ＤＢＣ＝∠ａ
∠ＤＧＣ＝∠ｂではありませんか？
それならば
tanａ=DC/BC=1/3 tanｂ=DC/GC=1/2　ですので
tanについての加法定理（下の式）を使って
tan(a+b)=(tanａ+tanｂ)/(1-tanａ・tanｂ)より
tan(a+b)=((1/3)+(1/2))/(1-(1/3)・(1/2))
=(5/6)/(5/6)=1
したがって　∠a+∠b=45°となりますが…

補足

すみませんでした。
staratras様のいうとおり、∠ＤＢＣ＝∠ａ、∠ＤＧＣ＝∠ｂの間違いです。

回答No.1

koko_u_

>∠BCDを∠a、∠GCDを∠bとすると
いずれの角も 90°に見えるのですが。。。