単位ベクトルとナブラの内積

質問

Transport phenomina 2nd editionを使って流体力学の勉強をしています。そこでp86 EXAMPE 3.5-1について質問があります。Euler表記の運動方程式からベルヌーイの公式を導く過程で、

s・∇ = d/ds (左辺のsは単位ベクトル、右辺のsはスカラー)

速度の単位ベクトル sと∇の内積が距離s の微小変化に等しい?となるのはなぜでしょうか? ∇・s = div sになるのは分かります。

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

こんばんは。

☆s・∇ = d/ds (左辺のsは単位ベクトル、右辺のsはスカラー)
◇これは、《方向微分》と呼ばれるものです。
説明すると、長くなるので、下のサイトを読んでください。

http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/DirectionalDerivative/

Transport Phenomenaで流体力学を勉強しているのか。
大学の教科書だろうか、独学でこれを読んでいるのだろうか？
すごいね、頑張って。

これはちょっとした助言なのだけれども、
簡単なベクトル解析の本くらいは持っていた方がいいのかもしれない。
流体力学をやるには、ベクトル解析の知識は不可欠ですから。

あるいは、
http://www.ims.tsukuba.ac.jp/~shugo_suzuki_lab/intro_vector.pdf
などを参考にするとか。

お礼

ある特定方向に向かって微分する方向微分という用語を初めて聞きました。方向微分の使い方は理解不足ですが概念的に理解できました。今のところはs・∇ = d/dsを頭に入れておこうと思います。

添付サイトのPDFも一度目を通したいと思います。手元にあるベクトル解析の教科書には記載されていませんでした。

回答No.2

hitokotonusi

以下，どれがベクトルでどれがスカラーかは適宜読み取ってください。

ある量f(x,y,z)についてテーラー展開するとfx, fy, fzを偏微係数として

f(x+Δx, y+Δy, z+Δz) = f(x,y,z) + fx Δx + fy Δy + fz Δz + O(Δ^2)

これより

Δf = fx Δx + fy Δy + fz Δz + O(Δ^2)

∇f = (fx, fy, fz)であり, Δr = (Δx,Δy,Δz)とすると

Δf = ∇f・Δr + O(Δ^2)

ややこしくなるのでΔr方向の単位ベクトルをn = (nx,ny,nz)として，Δs=|Δr|とすると

Δr = n Δs

なので

Δf = (∇f・n)Δs + O(Δ^2)

したがってfの(dx,dy,dz)方向の勾配は

Δf/Δs = ∇f・n + O(Δ^2)/Δs

Δs->0の極限をとって微分にすれば

df/ds = ∇f・n = n・∇f

お礼

真似して一度導出してみました。全微分から形を変えているように見えますね。