対称行列の方程式について

質問

2次対称行列A,Bが与えられたとき
X^2 + AX + B = O
を満たす２次対称行列を求めよ。

という問題なのですがどのような解法で解けば
いいでしょうか？

ケイリー・ハミルトンの定理g(X)=Oから次数を下げて、
(A-αE)X = (βE-B)
として|A-αE|の値で場合わけしようと思ったのですが
条件式が複雑すぎてうまくいきません。

どなたよろしく願いします。

回答No.3

guuman

AとBの取り違えとBとB'の取り違えとニュアンスの修正

A・X=-X^2-Bより
X・A=X^T・A^T=(A・X)^T=(-X^2-B)^T=-(X^2)^T-B^T=-X^2-B=A・X
よって
（１）Aの２固有値が異なる場合には
Aを対角化する直交行列によりXは対角化される
さらにそのとき解が存在するためにはBも対角化されなければならないので簡単
（２）Aの２固有値が等しい場合には
aをその固有値として
X'^2+a・X'+B'=0（Aを直交行列によって対角化してできる方程式）
すなわち
(X'+a・I/2)^2=a^2・I/4-B'
となる

回答No.2

guuman

何れも実なのか
それならば
A・X=-X^2-B
より
X・A=X^T・A^T=(A・X)^T=(-X^2-B)^T=-(X^2)^T-B^T=-X^2-B=A・X
よって
Bの２固有値が異なる場合にはXとAは同時に対角化され
Bの２固有値が等しい場合はaをその固有値として
X'^2+a・X'+B'=0（Aを対角化してできる方程式）
すなわち
(X'+a・I/2)^2=a^2・I/4-B
となる

以上を踏まえて補足に解答とその過程を書け

回答No.1

kup3kup3

まず、次の命題１を用意する。
[命題１]
Pが直交行列、（またはユニタリ行列）とするとき、
Aが対称行列、（またはエルミート行列）ならば
P^(-1)APも、また　対称行列（またはユニタリ行列）
「証明」
{P^(-1)AP}^t=P^t・A^t・{P^(-1)}^t=P^(-1)AP
よって、成立する。エルミート行列のときも同様
（証明終わり）

X^2＋AX＋B=0　・・・(*)とおく。
Xは対称行列なので、Xの固有値をα，β
として、それぞれの固有ベクトルv_1,.v_2をGram－Schmidtの直交法で正規化すれば、
α，βの固有ベクトルからなる正規直交基底{p_1,p_2}がとれる。
Xp_1=α・p_1,Xp_2=β・p_2　これからＰ=(p_1,p_2)とおけば

対称行列Xは(α　0)
P^(-1)AP=(0　β) と対角化できる。この右辺の対角行列を
Yとおく。

(*)の両辺に左からP^(-1)、右からPを掛けて、

(P^(-1)XP)^2＋{P^(-1)AP}{P^(-1)XP}+P^(-1)BP=0・・・(#)となる。

A,Bが対称行列だから[命題1]より、P^(-1)AP,P^(-1)BPも対称行列。
そこで、Ｃ=P^(-1)AP，Ｄ=P^(-1)BPとすれば，
Ｃ，Ｄは対称行列で(#)は

Y^2＋CY＋Ｄ=0　・・・(b)となる。

　 (α　0)　　　　 (a c) (e d)
Y= (0　β)なのでＣ=(c b) ,Ｄ=(d f) ・・・(b)とおくと、
(b)は
　 　(α^2　0)　　(a c)(α　0) (e d)
⇔　 (0　β^2)　+ (c b)(0　β) + (d f) =0

⇔{α^2+aα+e=0 ・・・(1)　cβ+d=0　・・・(2)　cα+d=0　・・・(3)
　　β^2+bβ+f=0・・・(4)
これをα,βの連立方程式として解く。
(2)－(3)として、c(β－α)=0　・・・(5)
（ア）c=0のとき　　(2)(3)から　d=0　よって対称
　　 (a 0) (e 0)
　Ｃ=(0 b) ,Ｄ=(0 f) 　で(1)かつ(4)　この後はまかせます。
（イ）c≠0のとき　(5)(2)(3)から　α=β=－d/c　(1)(4)に代入し、
　　e=d(ac-d)/(C^2),f=d(bc-d)/(C^2)となる。
　　よって　e≠d(ac-d)/(C^2)またはf≠d(bc-d)/(C^2)のときは
　　解なし。

あとはまかせます。求める行列を対角化してα,βの連立方程式にしたというわけです。
でもまだ面倒なようです。