f(x,y)のClass

質問

f(x, y) = { xy/(x^2 + y^2)^1/2 if (x, y) ≠ (0, 0), 0 if (x, y) = (0, 0) }

上の関数はC^０級であること、そして原点においてC^1級ではないことはどのように示すことができますでしょうか。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

(x,y)≠(0,0)のとき
f(x,y)=xy/√(x^2+y^2)
f(0,0)=0
とすると
連続関数の積和平方根は連続で
商は分母≠0で連続だから
(x,y)≠(0,0)のとき
f(x,y)は連続
x^2+y^2-2xy=(x-y)^2≧0
x^2+y^2+2xy=(x+y)^2≧0
だから
|xy|≦|2xy|≦x^2+y^2
の両辺を0<√(x^2+y^2)で割ると
|xy|/√(x^2+y^2)≦√(x^2+y^2)
だから
lim_{(x,y)→(0,0)}f(x,y)
=lim_{(x,y)→(0,0)}xy/√(x^2+y^2)
=0
=f(0,0)
fは連続だからC^0級

(x,y)≠(0,0)のとき
f_x(x,y)=y^3/(x^2+y^2)^{3/2}
y≠0のとき
f_x(0,y)=1
x≠0のとき
f_x(x,0)=0
lim_{y→0}lim_{x→0}f_x(x,y)=1
≠lim_{x→0}lim_{y→0}f_x(x,y)=0
fは微分不可能だからC^1級ではない

お礼

とてもわかりやすかったです！
もう何度か書き起こして、血肉にしていきたいと思います。
ありがとうございます！