初等幾何です

質問

三角形ABC,AB>ACとする。角Aの２等分線上の一点PとB,Cを結ぶ。AB-AC>PB-PC を証明。辺AB等をABと記す。AB+AC>PB+PCは簡単にできるのですが。よろしくお願いします。

回答No.2

staratras

三角形の内角の大小と対辺の大小の関係が一致する性質を使って、AB-ACとPB-PCの直接比較を試みました。

AB上にAC=AC'となるように点C'を、PB上にPC=PC"となるように点C”をそれぞれとる。
AB-AC=BC',PB-PC=BC"だから、AB-ACとPB-PCの大小を比較をするには、BC'とBC"の大小を比較すればよい。

三角形APC'と三角形APCにおいて、APは共通,角PAC'=角PAC,AC'=AC だから2つの三角形は合同。
よって、PC'=PC、またPC"=PCだから　三角形PC'C"は2等辺三角形で、角PC'C"=角PC"C'…(1)

ここで三角形BC'C"において、角BC'C"=180度-角PC'C"-角AC'P、角BC"C'=180度-角PC"C'
これと(1)から　角BC"C'>角BC'C" よってBC'>BC" すなわち　AB-AC>PB-PC

お礼

私も角の大小を模索したのですが、出来ませんでした。うまい捉え方と感じました。蛇足ですが、傘寿になったので、ボケ防止にと「好きになる数学入門」（宇沢弘文　全６冊）を購入ヒント解法を参考にしながら解いてみましたが、幾何が一番うまく行きません。６０数年ぶりの頭の訓練に皆さん方のご助言は大いに役に立ち、心強い助っ人です。感謝します。

回答No.1

nag0720

辺AB上にAD=ACとなる点Dをとると、
PB＜PD+DB=PD+AB-AD=PC+AB-AC
より、
AB-AC>PB-PC

なお、
P=AのときPB-PC=AB-ACだから、正しくはAB-AC≧PB-PCです。
もしくは、
AB-AC>PB-PCとしたいなら、「点PはAを除く」という条件が必要です。

お礼

拝復　よく分かりました。ありがとう御座います。