素朴な疑問。整数とは？

質問

整数とは？

「自然数 1,2,3,... と 0 と -1,-2,-3,... のこと」という回答だと、

では、自然数とは？

などと質問が続くと思います。

なるべく簡潔で厳密な説明を求めています。

回答No.19

alice_44

居丈高で非礼な「お礼」を有難う。
質問サイトは、質問と回答を行う場所であって、
質問者が回答を採点する場所ではないことも、
できればお忘れなく。
私は、貴方の生徒ではありません。

「整数」とは何であるか については、回答済み。
「整数」をどのように改変したいか については、
私の回答は、「貴方と違って、改変したくない。」
なのだけれど、
＞ もし主観でしか答えられないというのなら、もう回答は結構です。
とのことなので、この話題は、もうやめにします。

追加質問の二点については…

＞ 後者と前者を定義した無限集合は、整数と一対一の対応が存在する。

「無限集合」が可算無限なら、存在する。
濃度が違えば、存在しない。
任意の整列可能集合が、加算だとは限らない。

＞ 両者は同じものか、違うとしたら何が違うのか。

(可算だとして、)両者の順序構造(後者と前者が表現する性質)は、同じ。
その他のことは、違う。
「整数」は、環の構造を持つが、後者と前者を定義しただけの集合は、
それを持たない。加法と乗法を定義すれば同じになる という主張は、
書き込めば同じになるから、ノートと辞書は同じものだ
と言っているに等しい。

以下、A No.18「お礼」で、貴方が間違っている点
について、客観的に指摘しておきます。

（１）
＞ ＞そもそも、「定義する」というのは、性質を述べることですよ。
＞ 私的な見解なら不要です。

これを「私的な見解」と思ってしまうようだと、
何を説明しても、貴方には無駄かもしれません。
「定義する」というのは、性質を述べることです。
誰か他の人に聞いてご覧なさい。

（２）
＞ 加法や乗法は「性質」ですね。
＞ 一対一の対応となるのは「内容」ですね。

「性質」と「内容」を区別するには、
「性質」「内容」それぞれの言葉の定義が必要です。
それを欠いた議論は、私的な見解ですらない。
雰囲気を言葉にしただけで、意味を持ちません。

（３）
＞ 順序構造が入っていない加法と言われても、ピンと来ません。
＞ 正と負の区別がなくても -a+a=0 という式は意味を持つのだろうか？

有限巡回群について、調べてご覧なさい。
剰余環 Z/nZ の加法では、正と負の区別は無く、
-a+a=0 という式は意味を持ちます。

お礼

> 質問者が回答を採点する場所ではないことも、
> できればお忘れなく。

その意図はなく、あなたが無益な手間を掛けないように、との配慮です。

> 「整数」は、環の構造を持つが、後者と前者を定義しただけの集合は、
> それを持たない。

０ではなく２を加法単位元とした場合、それは「整数」か？
当然２が単位元となるように加法を修正した上で。

> > 私的な見解なら不要です。
>これを「私的な見解」と思ってしまうようだと、
> 何を説明しても、貴方には無駄かもしれません。
> 「定義する」というのは、性質を述べることです。
> 誰か他の人に聞いてご覧なさい。

私は「私的な見解」だと断言しているのではありません。
「なら」とちゃんと付けてます。
これであなたが「私的な見解」でないことを示せないことがはっきりしましたが、
それはとても残念です。

> 「性質」と「内容」を区別するには、
> 「性質」「内容」それぞれの言葉の定義が必要です。
> それを欠いた議論は、私的な見解ですらない。

「性質」と「内容」という言葉をあなたが使ったから反論したのに。
定義すらしてない言葉だと自ら宣言するんですね。

> 有限巡回群について、調べてご覧なさい。
> 剰余環 Z/nZ の加法では、正と負の区別は無く、
> -a+a=0 という式は意味を持ちます。

無限集合での話をしてたのに…。文脈はちゃんと読んでください。

回答ありがとうございました。

回答No.18

alice_44

＞ もはや「整数」の性質を述べてる気がしてきます。（私の感想として）

そもそも、「定義する」というのは、性質を述べることですよ。
冗長性を避けて、必要最小限の性質で延べたほうが良いけれど、
最小限の性質まで削ると、定義の内容が変わってしまいます。

三角形の場合、三辺で囲まれた図形を三角形と定義すると、
ユークリッド幾何学の下で、内角の和が180度であることが従います。
内角の和が180度であることを定義に含めておくのは、冗長です。
これは、単に省けばよい。

＞ 私としては、加法や乗法が定義できる対象が「整数」であると言った方がしっくりきます。

一方、貴方の「整数」の場合、
加法や乗法が無い状態でまず整数と呼び、後から加法や乗法を定義しようとしている
のですから、加法も乗法も無いものを「整数」と定義している訳です。
貴方の「整数」にあるのは、既知の整数との間の一対一対応だけです。
整数であることと加算無限濃度であることを同一視していることになる。
タダの集合です。

＞ 後者と前者を定義した無限集合は、タダの集合ではありません。
＞ 単項演算子を２つも定義した集合です。

前者と後者によって、集合に順序構造は入ります。
加算無限濃度で、上下とも有界でない線形順序…というだけで
「整数」と呼べるか？といえば、私の感想は、NO です。
そのことは、既に述べたとおり。

順序構造が入っていることが、後から加法や乗法を定義できるかどうかには
影響していないことも、反省してみてください。

＞ 呼べる気がしないと言うのなら、主観ではなく、数学の言葉にしてください。

いやいや、これは、最初から主観の話題ですよ。

＞「整数」と呼ぶ対象が、どこまで簡潔な内容に置き換えられるか。
＞ それが好奇心の対象です。

にも見るように、貴方は、既存の「整数」の定義を変更して、
別のものを「整数」と呼びたいと考えているのだから。

現行の数学で何を「整数」と呼んでいるかについては、
数学辞典でも引けば、A No.6 と、表現の細部はともかく、
内容的には同じことが書いてあるでしょう。
それではない何を、貴方が「整数」と呼びたいかといえば、
それは主観の話でしかない。

＞ ましてや、加法、減法に加え乗法まで定義が必要と考えるのは、
＞ もはや「整数」の性質を述べてる気がしてきます。（私の感想として）

の「感想」や、

＞ 私としては、加法や乗法が定義できる対象が「整数」であると言った方がしっくりきます。

の「しっくり」を、数学の言葉にするほうが先決です。
何かを提案したい人は、自分の提案をプレゼンテーションしなくちゃね。

で、私の主観としては、

＞ で、私が何を「整数」だと思うかと言うと、
＞ やっぱり A No.6 なんだなあ。A No.15 でも削り過ぎだと感じる。

お礼

> そもそも、「定義する」というのは、性質を述べることですよ。

私的な見解なら不要です。

> 冗長性を避けて、必要最小限の性質で延べたほうが良いけれど、
> 最小限の性質まで削ると、定義の内容が変わってしまいます。

定義の「内容」が変われば、最小限の「性質」が削られたということですね。
最小限の「性質」かどうかは、定義の「内容」で判断される。

> 一方、貴方の「整数」の場合、
> 加法や乗法が無い状態でまず整数と呼び、後から加法や乗法を定義しようとしている
> のですから、加法も乗法も無いものを「整数」と定義している訳です。
> 貴方の「整数」にあるのは、既知の整数との間の一対一対応だけです。
> 整数であることと加算無限濃度であることを同一視していることになる。

加法や乗法は「性質」ですね。
一対一の対応となるのは「内容」ですね。
「内容」が変わらなかったのだから、最小限の「性質」では無かったのでしょう。

> 順序構造が入っていることが、後から加法や乗法を定義できるかどうかには
> 影響していないことも、反省してみてください。

順序構造が入っていない加法と言われても、ピンと来ません。
正と負の区別がなくても -a+a=0 という式は意味を持つのだろうか？

> の「感想」や、
> の「しっくり」を、数学の言葉にするほうが先決です。
> 何かを提案したい人は、自分の提案をプレゼンテーションしなくちゃね。

質問者が曖昧なのは当然ですよ。分からない故に質問するのですから。
回答者はそれに数学的に意味がある言葉で返すことを期待されています。

ここは質問サイトであって、質問者が自分の意見を提案する場ではありません。
私は予想を立てて、それが数学として正しいか否か、あなたに質問したのです。

私があなたに対して聞きたいと思うことは、次の点です。
・後者と前者を定義した無限集合は、整数と一対一の対応が存在する。
・両者は同じものか、違うとしたら何が違うのか。

もし主観でしか答えられないというのなら、もう回答は結構です。

ありがとうございました。

回答No.17

alice_44

＞ １が生成する加法群となると、
＞ 「...,-2,-1,0,1,2,...」で説明していた時と
＞ あまり変わらない気がします。

得たいもの(整数)は同じなのだから、
簡潔に表現しようとすれば、
字間行間を読む側が埋めなければならない。
そこを埋める作業を質問で問い直せば、
帰ってくる答えは、クドクド説明していたときと
本質的に同じ内容になる。当たり前です。
何を自明と思うかの違いだけですから。

そうではなくて、内容そのものを簡潔にしようとすれば、
何かを削って「整数」の概念を変えなければならない。
A No.6 → A No.15 で、整数であることの要件を
可換環から加法群だけへ縮小したように。
それは、同じものの表現が簡潔になったのではなく、
同じ名前で呼ばれる対象が
より簡潔な内容にすり替えられただけです。

A No.16 後半で述べたのは、
「整数」から加法まで削っちゃまずいだろ という話。
そんなものは、整数と呼べる気がしない。

＞ ある集合と加算が加法群になるから整数だ、ではなく、
＞ ある集合で加算が定義できるなら整数だ、と考えます。

それは、違うでしょう。

ある集合が整数であるか否かは、整数であることの要件を明示して、
その集合が要件を満たすかどうかで判定すべきものです。
要件に合わせた性質が後から定義できる…では、
1対1対応が存在することしか必用としません。

＞ そのどれかを単位元と決めてしまえば、加算は定義されます。
＞ たとえば2が単位元とするなら、
＞ 2+2=2, 2+3=3, -3+3=2
＞ などのように。

というように、1対1対応から逆に整数としての加法を定義するなら、
{　2, 3, 4, 8, … }∪{ -3, -6, -9, -12, … } に限らず、
任意の加算無限集合が「整数」にできます。ということは、
貴方は、加算無限濃度であること以外の性質を特に持たない
タダの集合を「整数」と呼ぼうとしていることになる。
それが意図ですか？

私なら、そんなものは、「整数」ではなく「加算無限」と呼びます。
あるいは、「自然数」となら呼ぶかもしれないが。
整数が整数であることの要件は、それだけでは足りないと思います。
何でも削ればいいってもんじゃない。簡潔になることと、
無内容になることは、少し似ているけれど、まったく違う。

で、私が何を「整数」だと思うかと言うと、
やっぱり A No.6 なんだなあ。A No.15 でも削り過ぎだと感じる。

お礼

> そうではなくて、内容そのものを簡潔にしようとすれば、
> 何かを削って「整数」の概念を変えなければならない。

そうですね。その作業を求めたのですが、遅々として進みません。

> 同じ名前で呼ばれる対象が
> より簡潔な内容にすり替えられただけです。

「整数」と呼ぶ対象が、どこまで簡潔な内容に置き換えられるか。
それが好奇心の対象です。

> 「整数」から加法まで削っちゃまずいだろ という話。
> そんなものは、整数と呼べる気がしない。

「自然数」は「1,2,3,...」。足し算を知らない保育園児でも理解できるもの。
それに比べて、「整数」がごちゃごちゃし過ぎです。あまりに概念が違う。
ましてや、加法、減法に加え乗法まで定義が必要と考えるのは、
もはや「整数」の性質を述べてる気がしてきます。（私の感想として）

例えれば、三辺で囲まれた図形は三角形だが、それに内角の和が１８０度という条件を加えようとしているような。

私としては、加法や乗法が定義できる対象が「整数」であると言った方がしっくりきます。
呼べる気がしないと言うのなら、主観ではなく、数学の言葉にしてください。

> 要件に合わせた性質が後から定義できる…では、
> 1対1対応が存在することしか必用としません。

０を単位元とした加法が定義されてることを理由に「整数」だと認定しても、
では３は単位元にならないのかというと、それでも加法は定義可能だ。
じゃあ元の０を単位元とした加法の存在は、条件ではなかったことにならないか？
結局どの要素を単位元として加法が定義されてても良いのなら、
単位元を決める前の状態で、すでに「整数」なのではないだろうか？

> 貴方は、加算無限濃度であること以外の性質を特に持たない
> タダの集合を「整数」と呼ぼうとしていることになる。

後者と前者を定義した無限集合は、タダの集合ではありません。
単項演算子を２つも定義した集合です。

回答ありがとうございました。

回答No.16

alice_44

そうか、加法群がお好みでしたか。
そういう立場もあり得るかな。
有理整数から一般体の整数ヘと一般化するときに、
加法群だけでなく、環として拡張するのが普通だから、
加法だけで整数と呼ぶのは、やや奇異な感じもするけど。
まあ、そこは立場の違いだけだから。

＞「最小の」とは、具体的にどうやって判断するのでしょうか？

「最小の」というのは、先に述べたように、
「中への群同型を持つという意味での包含関係で最小」
ということです。
すべての無限可換群に(有理)整数の加法群(と同型な部分群)
が含まれていることを言えばいい。
１が生成する加法部分群を考えればよいのですが…
中学生には、ちょっと難しめかなあ。
ここは、結果だけでもよいのでは？

＞ 可換という条件は、どういう群を除外するためでしょうか？

非可換群については、今回の話題では必要ないと思います。
説明するなら、置換群を挙げてアミダクジの非可換性でも
話せばよいけれど、そこまで群論に深入りする理由がない。
歴史的にも、アーベルの群論に非可換群は無かったですよね。

＞ 自然数との違いは、後者と前者という二つの操作が可能なことだと考えてました。

加法抜きで、順序だけ入れようという訳ですか？
そうすることに意味があるのかなあ。
その意味での「整数」は、通常の整数の部分集合
{　2, 3, 4, 8, … }∪{ -3, -6, -9, -12, … } と
区別がつかない(同型)ですが、そんなものを「整数」と呼ぶ意義は？
何がしたいのか、よく解りません。

お礼

> すべての無限可換群に(有理)整数の加法群(と同型な部分群)
> が含まれていることを言えばいい。
> １が生成する加法部分群を考えればよいのですが…

可換群というだけでは、実数や整数×整数に相当する複素数が含まれませんか？
それらは整数ではないので排除するとして、「最小の」可換群ではないと言わなければなりません。
そのためには整数が部分群として含まれている証明が必要と思われますが、その分ルールが複雑化します。

１が生成する加法群となると、「...,-2,-1,0,1,2,...」で説明していた時とあまり変わらない気がします。

> 説明するなら、置換群を挙げてアミダクジの非可換性でも

「最小の」と付けているのですから、そのルールによっては弾かれると思っただけです。

> その意味での「整数」は、通常の整数の部分集合
> {　2, 3, 4, 8, … }∪{ -3, -6, -9, -12, … } と
> 区別がつかない(同型)ですが、そんなものを「整数」と呼ぶ意義は？

そのどれかを単位元と決めてしまえば、加算は定義されます。
たとえば2が単位元とするなら、
2+2=2, 2+3=3, -3+3=2
などのように。
記号は違いますが、群としては同じでは？

ある集合と加算が加法群になるから整数だ、ではなく、
ある集合で加算が定義できるなら整数だ、と考えます。

整数の部分集合であれ、整数と１対１の対応があるなら、整数ですよね。

回答ありがとうございました。

回答No.15

alice_44

A No.6「お礼」欄
＞ 掛け算は必須ですか？

A No.11「お礼」欄
＞「なるべく簡潔で」という条件が満たされているとは考えていません。

A No.12「お礼」欄
＞ 私が言ってる「なるべく簡潔」とは、なるべく少ない概念（ルール）で表すことです。

だったら、環はやめにして、
「位数無限で最小の可換群」でよいでしょう。
ここで、群は整数の加法群を指しています。
「最小の」は、中への群同型を持つという意味での包含関係で最小
を指しています。

これより簡潔には、なりようがないです。
加法抜きで整数と呼んでしまうなら、単に可算無限集合だというだけで、
そもそも自然数との間にさえ区別が生じない。

中学生相手に、代数の基本コースに仕立てて
それを全部解説せよと言っている訳ではありません。
群だの可換だのという言葉は伏せて、
群の公理を「整数には、こういう性質があって、
こういう性質を満たすものを『整数』と呼ぶ。」
と示せばよいでしょう。

反応のよい子には、「将来学ぶ数学では、
このように、その物の満たす性質を並べることで、
新しい概念や用語を定義するのだ。」くらいのことは
話してみるとよいと思います。
モノグラフなどを勧めるのは、環の公理を覚えさせるためではなく、
公理的定義の形式に触れてみることが有用だと思うからです。

A No.12「お礼」欄
＞ それも、中学生くらいに伝わるように。

標準的な中学生には、
「自然数 1,2,3,... と 0 と -1,-2,-3,... のこと」という回答
で十分でしょう。それより踏み込んだ説明は、
踏み込んだ説明を求める生徒にだけ必要です。
そして、それを理解するには、多少の勉強が必要となる。
群論の初歩が、中学生にとって難しすぎるとは思えませんし。

「自然数 1,2,3,... と 0 と -1,-2,-3,... のこと」だって、
そう悪くはありませんよ。
1 と足して 0 になるナニモノカを -1 と呼ぶ。
そのナニモノカが何者だかを理解するには、
構成的な定義をとるにせよ、公理的な定義をとるにせよ、
上記(あるいは A No.6 に前述)のような勉強をせざるを得ません。

それが難しすぎると思うなら、開き直って
「そういう、負の数というものがあるのだ。」と
天下りに押し付けてしまえばよいのです。
高校教程デすら、虚数を「i^2+1=0 なる i というものがあるのだ」
で済ませて、i がいったいどこにあるのかを説明しません。
高校生全員に、多項式環を極大イデアルで割る話を理解させよう
というのは、気違い沙汰ですものね。

で、天下りでは満足しない、よい意味で素直でない子供は、
多少、代数の香りを嗅いでみたらよいです。

お礼

> 「位数無限で最小の可換群」でよいでしょう。

なかなか良いと思います。（偉そうですみません）

「可換群」を平たく言えば
・（結合法則）計算の順序に関係なく同じ答えになる。
・（単位元）計算結果に影響しない０というものがある。
・（逆元）すべての要素には計算結果が０となるものがある。
という（一般に加算と言われる）計算が定義できるということですね。
加えて
・（交換法則）要素を交換しても同じ答えになる。
であると。

いくつか質問です。
「最小の」とは、具体的にどうやって判断するのでしょうか？
可換という条件は、どういう群を除外するためでしょうか？

> 加法抜きで整数と呼んでしまうなら、単に可算無限集合だというだけで、
> そもそも自然数との間にさえ区別が生じない。

自然数との違いは、後者と前者という二つの操作が可能なことだと考えてました。

以下の説明については、同意します。
今の学校教育に疑問を持ってる訳ではないので。

回答ありがとうございました。

回答No.14

elegant-orgel

再々回答します。

貴職がかりに、中学2級の免許を持ち、数学を教えられている実際の教職のかたであるならば、こんな質問はでないと思います。
なぜなら、中学校指導要領（いわゆる）中学生の教科書の補足教科書（教科書の余白に朱書きで表示してある説明文）を読み上げることで、いちおうその数学の授業は完成したものと看做されているからです。

ご存知ないのでしょうか？

それよりも、わたしも気が付いたことがあります。
あなたが書かれた、文章です。
「知的好奇心です。」
何が「なるべく簡潔」かと考えた場合、その過程では「必須」な概念以外を取り去る必要があります。
数学では、ある対象を「なるべく簡潔」に表そうとするのは普通のことだと思いますが。
（この文章は、何を意味しているのでしょうか？）
必須な概念以外・・・
この抽象的な言い回し・・補集合みたいな・いわゆる枠のそとを説明するとかしないとか・・

ある対象を「なるべく簡潔」に表すのであれば、教科書の補足書を読み上げればいいだけでは？ありませんか？そのほうが、中学生にははるかに伝わります。

０という概念を作り出したのは、インド人です。
零とは、無・・無いものをあらわす数を定義しています。

おそらく、貴職はこの「０」をあらわした内容をここに書いても、それは、本当にインド人が考案したものですか？ヒンズー教徒の間違いじゃありませんかと、詰問攻めにあいそうです。

命題と仮定を論破したいだけの質問ならば、最初から質問に書いておいたほうがよろしいかと思います。
ここに、まじめに回答してきた人たちの頭の体操を喜んでいるのか、なじって喜んでいるのか、解からないですよ。

（質問者）さんの特異性
もとの質問文で聞いてないようなことや前提としていないあなたの頭のなかにしか無い独自の前提をお礼欄で後から新たに付け足して質問内容を変化させていくクセがあなたにはあるようです。

にわとり（整数）が先か？たまご（自然数）が先かとの問題であるようにしか思えません。
だから、負の虚数の話に切り替えたのですけど・・・
この意味が伝わらなかったようですので、追録しておきます。

人に教えるということは、あなたが納得することでなく、見てる人が、聴いてる人が納得することです。
だから、講師は自分がわかっていなくても、参考書を読み上げるだけで、受講者はわかるんです。

アインシュタインの相対性理論じゃないんですから。。。異次元の発想を中学生に指導しても無駄だと思いますよ。
ここでいう異次元とは、あなたの数学に対しての「国語的こだわり」のことです。

お礼

> そのほうが、中学生にははるかに伝わります。

知りたいのは私です。誤解してるみたいですね。
「簡潔に」という言葉を具体的に表す際に、「中学生でも分かるような概念またはルールで」と説明したのであり、
その範囲外の概念を使ってもちっとも構いません。ただし、必要性を示すなら。

> まじめに回答してきた人たちの頭の体操を喜んでいるのか、なじって喜んでいるのか、解からないですよ。

問題に悩んでいるから質問した、そういう至って普通の動機からです。

> だから、負の虚数の話に切り替えたのですけど・・・
> この意味が伝わらなかったようですので、追録しておきます。

そうですね。理解できませんでした。

#10>それは、どういうことかと端的に申し上げれば、負の虚数を用いた計算式を物理学に応用したからです。
#10>この世に存在しない虚数を用いて計算をするなどといった発想に世界中の物理学者は驚嘆したのです。

虚数に正負があるとは思わなかったですし、「負の虚数を用いた計算式」と「虚数を用いて計算をする」を混在して使っているし、そもそも虚数を用いた計算式なら電磁気学で出てきますし。

ホーキング博士の理論を詳しく知ってたら言わんとすることが何か分かったのでしょうが、
残念ながら、そこまで調べる必要を感じませんでした。

> 人に教えるということは、あなたが納得することでなく、見てる人が、聴いてる人が納得することです。

質問をしたのは、私が納得するためです。
だから、異次元の発想を答えてくれても構いません。

回答ありがとうございました。

回答No.13

noname#199771

＞加法が定義されてるとは考えてません

「自然数とはどうあるべきか？」を考えることは無意味です。
哲学ではないのですから。

質問者さんが和や積を考えたくないというのなら、#8から単に
和や積に関する部分を削除すればいいだけのことです。

＞どれが０かと決めなくとも、０が存在していることが分かれば
＞良いのでは？

質問者さんの考える足し算や掛け算を認めない自然数なので
あれば、そうですね。なにかテキトーに０を与えればいいです。

足し算や掛け算のことを考えなくていいのなら（そんな
「整数」にどんな意味があるのか置いておいて）、
#5さんの発想からは離れますが、単に
自然数全体の集合を2つ用意して
A={(n,0)|nは自然数}
B={(n,1)|nは自然数}
C=A∪B
とおくだけでも済みますね。
必要ならたとえば(1,1)∈Bを0だと思うことにして。

＞私が言ってる「なるべく簡潔」とは、なるべく少ない概念
＞（ルール）で表すことです。
＞それも、中学生くらいに伝わるように。

ペアノの公理は中学生には伝わらないと思いますが。

ところで、#12へのお礼欄をみてあなたの以前の質問を思い出し
ましたが、あなたの質問の仕方は以前からおかしいと思っています。

もとの質問文で聞いてないようなことや前提としていないあなたの
頭のなかにしか無い独自の前提をお礼欄で後から新たに付け足
して質問内容を変化させていくクセがあなたにはあるようです。
そういうのはフェアではなく不愉快ですし、あまり生産的な尋ね方
とは思えません。後出しするなら最初から質問文に書きましょう。

お礼

> 質問者さんが和や積を考えたくないというのなら、#8から単に
> 和や積に関する部分を削除すればいいだけのことです。

自然数の和を同一視することで整数を定義するという説明ではなかったのですか？
それから和の部分を削除して残る部分は何ですか？

> 質問者さんの考える足し算や掛け算を認めない自然数なので
> あれば、そうですね。なにかテキトーに０を与えればいいです。

自然数なら足し算や掛け算は定義可能なので、
自然数の定義に足し算や掛け算は必須ではないと言っているだけです。
足し算や掛け算ができないものを自然数と呼ぼうとしているのではありません。

> 自然数全体の集合を2つ用意して
> A={(n,0)|nは自然数}
> B={(n,1)|nは自然数}
> C=A∪B
> とおくだけでも済みますね。

自然数はペアノの公理を満たすので、各要素aには後者suc(a)が存在します。
最初の要素を１とし、a+1=suc(a) という関係と結合法則が存在するなら、それは足し算です。

あなたの示した集合は、AとBの関係が明確で無いので、足し算を定義するには十分ではありません。

> もとの質問文で聞いてないようなことや前提としていないあなたの
> 頭のなかにしか無い独自の前提をお礼欄で後から新たに付け足
> して質問内容を変化させていくクセがあなたにはあるようです。
> そういうのはフェアではなく不愉快ですし、あまり生産的な尋ね方
> とは思えません。後出しするなら最初から質問文に書きましょう。

答についての明確なイメージが出来てないから、そういう聞き方になってしまうことが多いです。
でも、明確なイメージがあるのなら、質問は半ば以上解決してるでしょうし、
自力で解ける場合が多いでしょう。
だから、この指摘は「答が分かってから質問しろ」というのに近いですね。

生産性については、質問者が評価すべきでしょう。
どういう条件で考えなければならないかが明確化してきてますから、私にとっては十分生産的なやりとりです。
それが「あなたの頭のなかにしか無い独自の前提」と言われても否定はしません。
でも、とにかく、寄せられた回答が私の役に立ってるのは確かです。

不愉快かどうかは、どういう数学が好きかという嗜好の問題でしょう。
答が決まってるものに、私は逆に興味が持てない。
あなたはそういうのが好きなんですね。

ところで、この質問において私が後出ししたとするなら、「なるべく簡潔で」の意味くらいでは？
日本語の「少ない言葉で」という意味ではなく、「少ないルールで」と訂正したことがこれほど問題になるとは思いませんでした。

回答ありがとうございました。

回答No.12

noname#199771

#11です。

＞そもそも自然数を元にして、整数を定義するという手間の
＞多さが気に入って無いんですよね。
＞記号の集まり{a,b,c,...}がある場合に、その部分集合が自
＞然数だと証明し、
＞同一視によって自然数以外が表せることを証明し、
＞それ以外の記号が存在しないことを証明し、
＞…という多段階の手間は必須なんですか？

なぜ「必須」にこだわるのでしょう？
自然数が与えられていてそこから整数を作る場合、
自然数全体を整数全体が含むことを示すのは異常な
ことだとお考えなのですか？

#8は自然数が与えられていれば構成的に整数を作れる
と言っているのですが。

＞それに、自然数だから当然加算ができると思っている
＞ようですが、

え？自然数全体に加法を定義しないということですか？
めちゃくちゃですね。それは自然数とはいいません。

＞> １対１対応は必須です。そうでないと自然数が整数に
＞> 含まれるということを主張できなくなります。
＞私は「自然数とは何か？」という質問はしていません。

#8は「自然数とは何か？」の答えなんてどこにも書いて
ませんよ。自然数の作りかたについては何も触れていま
せん。繰り返しますが自然数全体が与えられたときに
整数全体の構成法を提示しました。
混乱されているようなのでよく読んでからコメントしてください。

＞にも関わらず、含まれるという主張が必須である理由は
＞何ですか？

自然数全体を含まないものは整数全体とみなすことは
できないからです。整数全体は自然数全体を含みます。

質問者さんは我々の定義と異なる「自然数」についてご
質問なさっていて、「自然数」を含まない我々の定義と異
なる何かに同じ「整数」という名前をつけて新たに創造し
ようとなさっているのでしょうか？

もしそうならそれは質問者さんご自身しかご存じない概念
なので、我々には答えようがないのではないでしょうか。

＞> それは#6さんが既に示してますよ。
＞「なるべく簡潔で」という条件が満たされているとは考えていません。
＞もしそれは明らかだと思うのなら、それを示してくれませんか？

これは私が答えることではありませんが、短くはっきりと
表現するさまを簡潔というのです。書かれていることが
簡単か難しいかは関係ありません。国語辞典をひいて
みてください。
http://dictionary.goo.ne.jp/leaf/jn2/47915/m0u/%E7%B0%A1%E6%BD%94/

お礼

> なぜ「必須」にこだわるのでしょう？

知的好奇心です。
何が「なるべく簡潔」かと考えた場合、その過程では「必須」な概念以外を取り去る必要があります。
数学では、ある対象を「なるべく簡潔」に表そうとするのは普通のことだと思いますが。

> 自然数が与えられていてそこから整数を作る場合、
> 自然数全体を整数全体が含むことを示すのは異常な
> ことだとお考えなのですか？

自然数から整数を作る方法としては、普通のことだと思います。
ただ、私が知りたいのは普通の方法かどうかではないんです。

> え？自然数全体に加法を定義しないということですか？
> めちゃくちゃですね。それは自然数とはいいません。

＃３から引用すると、「自然数とはペアノの公理を満たす集合のこと」です。
これだけで加法が定義されてるとは考えてませんが、あなたには別の解釈があるようですね。
よければ、どういうことか教えてください。

> 繰り返しますが自然数全体が与えられたときに
> 整数全体の構成法を提示しました。

私はその構成法が「なるべく簡潔」な方法なのかと、繰り返し聞いているのです。
それに答えてくれない回答には興味ありません。

逆に、その構成法でなければ、整数に「…」という性質を与えることはできない、
という回答は、歓迎いたしております。

> 自然数全体を含まないものは整数全体とみなすことは
> できないからです。整数全体は自然数全体を含みます。

それは証明すれば済む事柄です。
構成法に必須ということではないかもしれません。

どれが０かと決めなくとも、０が存在していることが分かれば良いのでは？

> 書かれていることが
> 簡単か難しいかは関係ありません。

なるほど。円周率とはと聞かれて、三角関数を持ちだして答えそうな人なんですね。

私が言ってる「なるべく簡潔」とは、なるべく少ない概念（ルール）で表すことです。
それも、中学生くらいに伝わるように。
正しく伝わっていなかったならごめんなさい。

誰に伝えるか考えずに、ただ自分が理解できるという理由で難しい概念を平気で使うことは、
簡潔な表現に当たるとは思えません。

回答ありがとうございました。

回答No.11

noname#199771

#8です。

＞-1と表す場合と同値類で表す場合を示されていますが、
＞表現方法は複数あるということですね？
＞私としては、その共通点が知りたいのですが。

「a+d=b+cのとき(a,b)と(c,d)とを同一視する」と書きましたよ。
もう一度読んでください。
構成的な方法を示しています。

＞これが整数であるという例を示して欲しいんじゃないんです。

例だけを示したわけではありませんよ。

＞数学的には例を挙げて、それと１対１で対応すれば整数と言えるでしょう。

＞この方法では、「１対１の対応」という概念を理解しなければなりません。
＞それは必要なことにも思えますが、必須ではないかもしれません。

１対１対応は必須です。そうでないと自然数が整数に
含まれるということを主張できなくなります。

＞ある集合が「…」という性質を満足するなら、それは整数である
＞という風に表せませんか？

それは#6さんが既に示してますよ。

お礼

> 「a+d=b+cのとき(a,b)と(c,d)とを同一視する」と書きましたよ。
> もう一度読んでください。
> 構成的な方法を示しています。

そもそも自然数を元にして、整数を定義するという手間の多さが気に入って無いんですよね。
記号の集まり{a,b,c,...}がある場合に、その部分集合が自然数だと証明し、
同一視によって自然数以外が表せることを証明し、
それ以外の記号が存在しないことを証明し、
…という多段階の手間は必須なんですか？

それに、自然数だから当然加算ができると思っているようですが、
「加算という概念は必須であり、それは…という性質を持っている必要がある」と
示すことが先ではないでしょうか？

> １対１対応は必須です。そうでないと自然数が整数に
> 含まれるということを主張できなくなります。

私は「自然数とは何か？」という質問はしていません。
にも関わらず、含まれるという主張が必須である理由は何ですか？

> それは#6さんが既に示してますよ。

「なるべく簡潔で」という条件が満たされているとは考えていません。
もしそれは明らかだと思うのなら、それを示してくれませんか？

回答ありがとうございました。

回答No.10

elegant-orgel

NO9です。

再回答します。

1.「最初の数」が存在する。
2.いかなる数にも、「次の数」が存在する。
3.2つの数が異なれば、それぞれの次の数も異なる。
4.いかなる数も、その次の数は最初の数にならない。
5.数学的帰納法が適用できる。

他の方の回答をみて気が付いたことがあります。

正の整数と、いったり負の整数といいますが、
正の虚数と、いったり負の虚数という言葉を耳にされたことはありませんか？

物理学者のホーキング博士が、宇宙ひも状論という論理を学会で説明されましたが、このとき世界の物理学者は、ついにホーキング博士が狂ったと思った学者もいたみたいです。

それは、どういうことかと端的に申し上げれば、負の虚数を用いた計算式を物理学に応用したからです。

この世に存在しない虚数を用いて計算をするなどといった発想に世界中の物理学者は驚嘆したのです。
しかし、博士のこの論理は、アインシュタインの相対背理論を論破するに真新しい発見を導くことになりました。

ですから対極的に、自然数とは自然界に存在する学術的数値であることは言うまでもありません。

負の虚数をどう表現するか・・・これは、ある意味、自然対数の論理と裏側の関係にあるのかもしれません。
この考え方は、ＬＯＧ１０の考え方の逆ヴァージョンです。
かけて、その数字になる数を　ＬＯＧ１　、ＬＯＧ２と表記してゆきますが、ＬＯＧ１０はあってもどこに存在するかわからない数です。
(1)割り切れないけど、存在しているであろう数・・・という数
(2)掛け合わせればその数になってしまう数・・・という数
これらを虚数というのに対して、自然数は、かならず自然界に存在しうる数値だと定義づけられます。

お礼

回答ありがとうございました。