整数の証明問題

質問

1,3+5,7+9+11,13+15+17+19,21+…って全て自然数の３乗の数になってますよね？この証明法を教えてくださいませんか？自分でやってみましたが、できそうでできません。整数問題って僕が解こうとすると、どれもそうなんですよね…。どなたかお願いします。

回答No.5

quantum2000 · ベストアンサー

面白い整数の定理を見つけましたね！（群数列の問題としても良問でしょう。）
質問者さんは中学生ですか？　なかなかやりますね！

この定理をこのｗｅｂページ上で、分かりやすく説明するのは、なかなか難しいかもしれません。他の回答の方も苦労しておられるようですが、質問者さんの発見に敬意を表して、私も一苦労してみます！？

使う定理：
(1)　（１から小さい順に）ｎ番目の奇数は、２ｎ－１ と表される。
例：
１＋２（＝３）番目の奇数は、２×３－１＝５
１＋２＋３（＝６）番目の奇数は、２×６－１＝１１
１＋２＋３＋４（＝１０）番目の奇数は、２×１０－１＝１９
・・・
１＋２＋３＋・・・＋ｎ 番目の奇数は、２×（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）－１ と表される。
１＋２＋３＋・・・＋（ｎ－１） 番目の奇数は、２×｛１＋２＋３＋・・・＋（ｎ－１）｝－１ と表される。
これは大丈夫ですかね。

(2)　１＋３＋５＋・・・＋（２ｎ－１） ＝ ｎ^2
例：
１＋３＝２^2
１＋３＋５＝３^2
１＋３＋５＋７＝４^2
・・・
１から続く奇数ｎ個 の和はｎ^2 ということ。これもきれいな定理で面白いでしょう！？
Ｎｏ．４さんも示されていますが、証明を考えてみるのも面白いでしょう。

(3)　１＋２＋３＋・・・＋ｎ ＝ ｎ（ｎ＋１）／２
例：
１＋２＝２（２＋１）／２＝６／２＝３
１＋２＋３＝３（３＋１）／２＝１２／２＝６
１＋２＋３＋４＝４（４＋１）／２＝２０／２＝１０
・・・
１＋２＋３＋・・・＋（ｎ－１）＝（ｎ－１）（ｎ－１＋１）／２＝（ｎ－１）ｎ／２＝ｎ（ｎ－１）／２
これもきれいな定理ですから、その証明を考えるのも面白いかもしれませんね・・・！？

すると、
(4)　質問者さんが初めに示した奇数の列について、その第ｎ番目のカッコ（　　）の中の和は、Ｎｏ．４さんの回答のように、第１番目の（　　）の中から第ｎ番目の（　　）の中までのすべての奇数の和から、第１番目の（　　）の中から第ｎ－１番目の（　　）の中までのすべての奇数の和を引いた残りとして求められます。

(5)　ここで、第１番目の（　　）の中から第ｎ番目の（　　）の中までの和は、この和の中に１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２ 個（定理(3)より）の奇数が入っていますから、定理(2)より、それらの和は｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2 と表されます。
これを展開すると、ｎ^2（ｎ＋１）^2 ／４ となります。

(6)　また、第１番目の（　　）の中から第ｎ－１番目の（　　）の中までの和は、この和の中に１＋２＋３＋・・・＋（ｎ－１）＝ｎ（ｎ－１）／２ 個（定理(3)より）の奇数が入っていますから、定理(2)より、それらの和は｛ｎ（ｎ－１）／２｝^2 と表されます。
これを展開すると、ｎ^2（ｎ－１）^2 ／４ となります。

(7)　すると、(5)，(6)より、求める(4)の第ｎ番目のカッコ（　　）の中の和は、(5)－(6)を計算して、
(5)－(6)
＝ｎ^2（ｎ＋１）^2 ／４ － ｎ^2（ｎ－１）^2 ／４
＝ｎ^2｛（ｎ＋１）^2 －（ｎ－１）^2｝／４
＝ｎ^2｛（ｎ^2＋２ｎ＋１）－（ｎ^2－２ｎ＋１）｝／４
＝ｎ^2｛４ｎ｝／４
＝４ｎ^3 ／４
＝ｎ^3
となります。
つまり、質問者さんが最初に示した奇数の列について、その第ｎ番目のカッコ（　　）の中のｎ個の奇数の和は、いつでも確かにｎ^3 となっている！！
ＯＫ！

・・・という訳ですが、どうもやはり分かりずらかったようですね。すみません。
ほんのご参考までに。

回答No.6

quantum2000

おはようございます。Ｎｏ．５の回答者です。

Ｎｏ．５の回答で、「使う定理」の(1)の式は、この回答では「使わなかった」ので、この部分は気にしないでください。
真夜中に睡魔に襲われながら、色々と考えつつパソコンを打っていましたので、「混乱が乱れてしまいました」！？！　すみません。お騒がせを！

もし、まだ疑問の点があったら、気軽に聞いてくださいね。（この『整数の証明問題』という質問は、ルール違反ではないでしょうから、削除されないと思いますので。）

回答No.4

gabygaby

自己流です。証明って感じではないですけど・・・（＾＾；

その前に、これらは知ってますか？
因数分解m^2-n^2=(m+n)(m-n)
☆1+2+3+・・・+n=n^2
★1+2+3+・・・+n+・・・+3+2+1=n^2
これらの式を使います。（わからなかったら↓の『☆について』へ）

～～～
例として“３”つ目の群（7+9+11)でやってみます。

7+9+11は【1から11までの和】－【1から5までの和】だから
　　　　　　　　　＝6^2-3^2　　　　　　　　　　　　　　　　←☆の式より
因数分解m^2-n^2=(m+n)(m-n)をつかうと、
　　　　　　　　　＝(6+3)(6-3)
ここで右のかっこは差ですから、“３”つめの群にいくつ数があるかを表します。
左は（6+3)=(1+2+3)+(2+1)
=3^2 ←★の式より
“３”つ目の群では３＾２になります。

というわけで、7+9+11=3^2×3=3^3 です。

・・・わかりにくいですね。すみません。

☆について
　１＋３＋５＋・・・
　○＋●●●＋◎◎◎◎◎・・・

　○　→　○●　→　○●◎　・・・
　　　　　　●●　　　●●◎
　　　　　　　　　　　　◎◎◎
（書き込んだらずれてしまいました！普通の正方形になります。）

★について
　１＋２＋３＋４＋３＋２＋１
＝○＋●●＋◎◎◎＋★★★★＋・・・
　　　　★
　　　◎　○
　　●　★　○
　○　◎　○　○
　　●　★　○
　　　◎　○
　　　　★
（ナナメに見ると正方形なので）４×４

回答No.3

mickel131

A(1)=1 , A(2) = 3+5 , A(3) = 7+9+11
, A(4)=13+15+17+19, ・・・
として、
A(n)を考えてみましょう。
A(1)は１つの奇数の和、A(2)は２つの奇数の和、
A(3)は３つの奇数の和,　A(4)は４つの奇数の和,
すると、1,3,5,7,9,11,13,15,17,19までで何個の数ですか？
答えは、１+２+３+４で、１０個の数です
すると、A(５)の最初の数２１は、何番目の奇数ですか？
答えは、１１番目の奇数　です。
これは、（１＋２＋３＋４）＋１で求められます。
11番目の奇数は、どのようにして求められますか？
答えは、１＋２×（１１－１）です。
では、A(６)の最初の数は何でしょう？
A(６)の最初の数は、はじめから何番目かをまず求め、
その答えがｎのとき、A(６)の最初の数は
１＋２×（ｎ－１）で求められます。
実際にやってみましょう。
A(６)の最初の数は、はじめから何番目か。
それには、A(５)の最後の奇数まで何個あるかを考えます。
奇数の個数はA(1)が１つ、A(2)が２つ、A(3)が３つ,A(4)が４つ、A(5)が５つ、ですから、ここまでで、
１＋２＋３＋４＋５＝１５個　あります。だから、
A(６)の最初の数は、１５＋１＝１６番目の奇数で、
１＋２×（１６－１）＝３１です。
A(５)の最後の数は、この数より２小さいですから、
３１－２＝２９となります。すると、
A(５)は、２１から２９までの奇数の和ということになり、これは、初項が２１、末項が２９、項数が１６－１１＝５　の等差数列の和と同じです。
よって、等差数列の和の公式 S(N) = (1/2)*N*(A+L)
に、A=21,L=29,N=5を代入して、
A(５)＝Ｓ(５)＝(1/2)*５*(２１+２９)＝１２５
と求められます。
今、上に書いたことを、自分でぜひ書いてやってみてください。
そして、A(6)を同じやり方で求めてください。
それが自分でできたら、A(ｎ)を同じやり方で求めてみましょう。
やってみたら、自然にA(ｎ)＝ｎ＾3 が求まります。

補足

等差数列とは何かわかりません。ごめんなさい。等差数列が出るところまではまったく同じような作業をしました。そこらから混乱して、できそうでできないのです（泣）でもこんな長い文章本当にありがとうございました。中学生にもわかるやり方は無いのでしょうか?

回答No.2

shkwta

等差数列の和の公式を２回使ってできます。

まず、それぞれの加算式は、公差が２の等差数列の和ですね。

それぞれの加算式の初項（先頭の数）を見ると、
1+0=1
1+2=3
3+4=7
7+6=13
13+8=21
となっていて、初項0,公差2の等差数列の和に1を加えたものになっています。

あとはがんばってください。

回答No.1

sunasearch

|1|3 5|7 9 11|13 15 17 19|21 ...

上の群数列と思って、第ｎ群の数列の和を求めればよいのでは？

補足

残念ながら数列はまだやってないんですよ。でもありがとうございます。