整数、実数の導入

質問

自然数の集合を仮定して、同値類などを用いて整数、実数を導入するのってどうにするのでしょうか？
回答お願いします！！

回答No.1

stomachman

順序対< , >を使って新しい元を作る。例えば、
　　Z = {<0,n>| n∈N} ∪ {<1,n>| n∈N ∧ n≠0}
とでもして、<0,n>を非負の整数、<1,n>を負の整数だと思うことにする。<0,n>を自然数nと同一視出来るように足し算+をZ上で定義し（これを「+をZに拡張する」という）、+の逆演算としての-を導入して、Zをアーベル群にしてやる。さらに、自然数の掛け算をZに拡張して、<Z,+,×>を可換環にする。ついでに、全順序関係≧もZに拡張しとく。
次に、整数の対の集合、すなわち分数の集合を作る。
　　P = {<x,y>| x∈Z ∧ y∈Z ∧ y≠<0,0>}
P上で約分による同値関係を導入し、同値類の代表元として既約分数の集合Qを得る。<z,1>∈Q が整数zと同一視できるように+, - , × を拡張し、さらに×の逆演算として割り算を導入すると、有理数体ができる。全順序関係≧もQに拡張しとく。ここまで、難しいことはないと思います。
　実数体を作るやり方のひとつは 　http://oshiete1.goo.ne.jp/qa32339.html

お礼

どうもありがとうございました！！