素朴な疑問。整数とは？

質問

整数とは？

「自然数 1,2,3,... と 0 と -1,-2,-3,... のこと」という回答だと、

では、自然数とは？

などと質問が続くと思います。

なるべく簡潔で厳密な説明を求めています。

回答No.9

elegant-orgel

※日本において高校生までの算数/数学であれば、特に断りのない限り自然数とは0を含まない正の整数を指します

ゼロを含まない正の自然数という位置づけを見抜くことです。

自然数について、厳密に定義したもの。自然数とは以下の条件を満たすものを指し、逆に以下の条件を満たすものは自然数と呼んでいい。

1.「最初の数」が存在する。
2.いかなる数にも、「次の数」が存在する。
3.2つの数が異なれば、それぞれの次の数も異なる。
4.いかなる数も、その次の数は最初の数にならない。
5.数学的帰納法が適用できる。

いくつあるの？
自然数の個数は無限だが、無限にも多さによって種類がある。これを濃度と呼び、自然数の濃度は可算濃度である。ちなみに整数・有理数は自然数を使って番号をふることができる、つまり一対一対応させることができるので同じ可算濃度となる。なお無理数や実数は自然数を用いて番号をふれないことが証明でき、連続体濃度という別の濃度を持つ。

自然数とは、普通に数えられる1,2,3・・・といった、いわゆる「数(かず)」の事を数学的に表現した物である。

０は存在しないものを表した数学的数値です。
自然数は、最初の数が存在します。ただし　１の前が０ということではありません。
１から始まりという意味です。

ものを数えるときに、ゼロ個あるとは言いませんよね。数える最初の単位は「いち」という数学的見地の問題です。

因みに　整数は、正の整数と負の整数がありますので、ゼロと自然数という表記に変わります。

たまごがさきか？にわとりがさきかみたいな質問に見えますけど・・・答えは、０を含まない正の整数を自然数と呼ぶ、このことだけ暗記してればいいと思います。

参考URL：

http://dic.nicovideo.jp/a/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95

お礼

> 1.「最初の数」が存在する。

整数には「最初の数」が存在しないのに、
整数の説明では「最初の数」が必須なのでしょうか？

負の整数を正の整数に負号を付けて表すなら、その通りでしょう。
でも、表現方法はそれだけでは無い気がします。

たとえば２の補数で負数を表す場合も、「最初の数」は必須でしょうか？

回答ありがとうございました。

回答No.8

noname#199771

発想としては#5が素朴でいいのではないでしょうか。

＞引き算ができないなら、そのまま書いたらどうでしょう？
＞x-y
＞
＞という値はそれ以上簡単にはできません。
＞
＞2-3
＞
＞が計算できないなら、そのまま 2-3 と書けばいいのでは？
＞
＞なぜそれが -1 へと繋がるのでしょう？

これによると2-3と4-5を区別するのかどうかがはっき
りしません。

自然数として2+5=3+4なので2-3と4-5を同一視できて、
2-3を含むこの同一視による同値類を-1と書くという
ようにすればいいです。

このように自然数からなる順序対(a,b),(c,d)に対して
a+d=b+cのとき(a,b)と(c,d)とを同一視することによって、
自然数nに対して-nが定義できますし、0も同様です。

この同一視による(a,b)を含む同値類を[(a,b)]と書き、
X={[(a,b)]|a,bは自然数}
とおきます。

f:{自然数全体}→X
をf(n)=[(n+1,1)]により定義すれば
f(a)=f(b)⇒a+1+1=b+1+1⇒a=bとなりfは単射。
この意味でXが自然数を含むことがわかります。
[(a,a)]を0と書きます。

また、
[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]
[(a,b)]×[(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]
によって+と×が定義でき、fによる同一視の意味で
自然数上の演算+と×をX上の演算に延長している
ことがわかります。

お礼

> 同値類を-1と書く

> この同一視による(a,b)を含む同値類を[(a,b)]と書き、
> X={[(a,b)]|a,bは自然数}
> とおきます。

-1と表す場合と同値類で表す場合を示されていますが、
表現方法は複数あるということですね？
私としては、その共通点が知りたいのですが。

これが整数であるという例を示して欲しいんじゃないんです。
数学的には例を挙げて、それと１対１で対応すれば整数と言えるでしょう。

この方法では、「１対１の対応」という概念を理解しなければなりません。
それは必要なことにも思えますが、必須ではないかもしれません。

ある集合が「…」という性質を満足するなら、それは整数である
という風に表せませんか？

回答ありがとうございました。

回答No.7

jmh

> 計算できないなら、そのまま 2-3 と書けばいいのでは？

見てっ! #3 を厳密ゥを失わないまま簡潔ッに説明してみたのが #5 です (当社比)

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.6

alice_44

厳密かつ簡潔なのは、「標数 0 で最小の単位的可換環」でしょう。
この言葉の意味をたどるには、多少の勉強をしなくてはならないが、
群環体についての薄っぺらい本(モノグラフとか)に目を通すくらいは、
中学生の独学でも可能と思います。私は、中２のときだったかな。

ひらたい言葉で言い換えれば、(厳密さは犠牲になるけれど)
足し算引き算掛け算が普通にできるような数の集まりで、
要素数が無限であるようなものは、いろいろあるが、
そのどれもに共通に含まれている、演算で閉じた部分集合がある。
それが、整数。

お礼

> 中学生の独学でも可能

それはそうでしょうが、＃３で私が書いたのは、普通の中学生です。
普通の中学生は、整数を正しく理解していないということでしょうか？
もしそうなら、群環体の本を前提にしても良いのですが、
無闇に難しい概念を持ち出すのは好きではありません。

> 足し算引き算掛け算が普通にできるような数の集まり

掛け算は必須ですか？

１ｍ＝１００ｃｍ

とかあるので、ある集合が実は偶数の集合だったとしても
大した違いではない気がしますが。

回答ありがとうございました。

回答No.5

jmh

自然数は既知として。自然数は小さい数からそれより大っきい数を引き算できないんですが、できるようにした！のが整数だッと思います。

お礼

引き算ができないなら、そのまま書いたらどうでしょう？

x-y

という値はそれ以上簡単にはできません。

2-3

が計算できないなら、そのまま 2-3 と書けばいいのでは？

なぜそれが -1 へと繋がるのでしょう？

回答ありがとうございました。

回答No.4

bgm38489

Ｗｉｋｉで調べると、
「0 とそれに 1 ずつ加えていって得られる自然数 (1, 2, 3, …) および 1 ずつ引いていって得られる数 (－1, －2, －3, …) の総称である。」
とありますね。自然数から定義すれば、
「0に１ずつ加えていったもの」
となり、整数とは、
「自然数と、０と、０から自然数を引いたものの総称」
となるでしょうか。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0

お礼

引き算とは、反数を加えることとされていませんか？

その場合、負数の定義が先に来る必要がありますね。

つまり、
「自然数と、０と、０から自然数を引いたものの総称」
とは、負数の定義を元に、負数を定義している可能性があります。

回答ありがとうございました。

回答No.3

ask-it-aurora

厳密な説明となるとこのような場だけで十分に説明するのは無理でしょう．本当に興味があるならばこのようなところで質問回答を繰り返すよりは学部生が使うような初等集合論の本を読めばいいと思います．そこでも数章かけて説明していると思いますが…ネット上にあるもので検索して引っかかったものだとたとえばこんなの（参考URL）です．

わかっている人向けに述べるなら自然数とはペアノの公理を満たす集合のことで，整数とはその直積を適当な同値関係で割った商集合として定義されます．

参考URL：

http://mathematics-pdf.com/pdf/construction_of_numbers.pdf

お礼

「なるべく簡潔で厳密」と書いてますが、言い方が悪かったかもしれません。
「なるべく厳密」って言葉は無かったでしょうか。

「実用上十分な正確さで」と書けば分かって貰えるでしょうか？
その判断は主観的ですが。

ペアノの公理も同値関係も理解できますが、中学生が容易には理解できないようなことを持ち出さないと整数の説明はできないのでしょうか？

回答ありがとうございました。

回答No.2

mac1963

1.2.3・・・・・
マイナスや0及び小数点や分数等で無い物

お礼

一、二、三、…

では、整数になりませんか？

回答ありがとうございました。

回答No.1

jusimatsu

0に1づつ加えるか引くかして得られる数
では？

お礼

０とは何か？
１とは何か？
加えるとは何か？
引くとは何か？

などが疑問として浮かびますね。

回答ありがとうございました。