因数分解abc

質問

a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)
を因数分解してください。
回答は -(a-b)(b-c)(c-a) です。

まず質問の式からどのように考えればよいのでしょうか？

回答No.2

teahyun9 · ベストアンサー

a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)

=a^2(b-c)+(c^2-b^2)a+bc(b-c)

=a^2(b-c)-(b+c)(b-c)a+bc(b-c)…（1）

=(b-c){a^2-(b+c)a+bc}…（2）

=(b-c)(a-b)(a-c)

=-(a-b)(b-c)(c-a)…（3）

ポイント
（1）aが解の２次方程式の形にします。
（2）(b-c)をくくりだします。
（3）アルファベット文字の順番は、a,b,c…ですが、
(c-a)と表します。

お礼

ありがとうございます
よく分かりました。

回答No.4

puni2

ああ。
せっかくヒントだけにして，自分で計算する楽しみを残しておいたのに。
意味がなくなってしまいました。
数学の勉強は，ある程度自分で考えたほうが身に付きますので，教育的配慮をしたつもりだったのですが。

と，それだけだと単なる愚痴になってしまいますので，補足の一言を。
この種の計算問題は，適当に鉛筆を動かしていると何とかなってしまうこともありますし，逆に泥沼に入り込んでわけが分からなくなってしまうこともあります。
大事なのは，「見通しを持って計算すること」です。
つまり，今やっている式変形がどういう意味を持っているのか，これをやるとその先がどうなっていくのか，ということを，なるべく考えながら計算することです。
そう考えて，私の回答では，単なる式変形を書くのではなく，「なぜそういう変形をしようと思うのか」という説明を中心にしました。
これを見ながら，自分で鉛筆を動かしてもらえば，理解が進むと思ったわけですが。

回答No.3

ara_ara

a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)

(b-c)に着目して展開し、整理すると
=a^2(b-c) +b^2c-b^2a +c^2a-c^2b
=a^2(b-c) +bc(b-c) +a(c^2-b^2)
=a^2(b-c) +bc(b-c) +a(c+b)(c-b)
=(b-c)(a^2 -a(c+b) +bc)
=(b-c) (a-b)(a-c)
=-(a-b)(b-c)(c-a)

適当にやってみたらこうなりました。

お礼

途中からは下の方と同じくaについての2次式であり、かつ、どの項にも(b-c)が含まれる形になり、(b-c)でaについての2次式をくくってから、aについての2次式を積の形にして完成なんですね。
よく分かりました。
おもしろい方法でした。

回答No.1

puni2

全部書いてしまうとつまらないかな。後半はヒントだけにしましょう。

因数分解には，公式に当てはめるとか，共通因数でくくるとか，いくつかのポイントがありますね。
その一つに，「次数の最も低い一文字について整理する」というのがあります。
この式の場合，a, b, cのどれについても，2次の項がありますので，次数は一緒です。
そこで，たとえばaについて整理してみましょう。
つまり，aの2次式と考えます。
すると，
(b-c)a^2 + (-b^2+c^2)a + (b^2)c-b(c^2)

次に，aの1次の項の係数，(-b^2+c^2)は，書き直すと -(b^2-c^2)となります。2乗の差なので，和と差の積に因数分解できますね。

次に，定数項を考えます。
aの多項式と見ていますから，定数項というのはaを含まない項，つまり(b^2)c-b(c^2)のことです。
共通因数，bcでくくることができますね。

さて，ここまで整理すると，共通因数（b-c）がみえてきませんか。
ここまでくれば，できたようなものですね。