やれと言われたとおりに作業する。
考える部分は、何ひとつ無い。
sinθ, cosθ, tanθ のマクローリン展開を
それぞれ 5 次で打ちきって、近似式にする。
有限次までなので、微分についても特殊な処理はなく、
ただ 5 回繰り替えして微分すればいい。
マクローリン展開が何かを知っていれば、式が書ける。
例えば、f(Θ) = sinΘ の場合、
f'(Θ) = cosΘ,
f''(Θ) = -sinΘ,
f'''(Θ) = -cosΘ,
f^(4)(Θ) = sinΘ,
f^(5)(Θ) = cosΘ なので、
マクローリン展開 f(Θ) = Σ[k=0→∞] {f^(k)(0) / k!} Θ^k を
5 次で打ちきると、
f(Θ) ≒ f(0) + f'(0)Θ + {f''(0)/2}Θ^2 + {f'''(0)/3!}Θ^3 + {f^(4)(0)/4!}Θ^4{f^(5)(0)/5!}Θ^5
= Θ - (1/6)Θ^3 + (1/120)Θ^5
右辺を = g(Θ) と置く。
θ = π/4の場合について、
求めた多項式による三角関数の近似値は g(π/4)、
誤差は g(π/4) - f(π/4)、
誤差の真の値に対する比率は { g(π/4) - f(π/4) } / f(π/4) で、
％表示なら、100 { g(π/4) - f(π/4) } / f(π/4) [%]。
sin(π/4) の値を知っていれば、これが π を含んだ式で書けるから、
適当な精度で π ≒ 3.1415926… を代入すれば、
相対誤差の近似値が求まる。
cosθ, tanθ についても、まったく同様。
自分で手を動かしてやってみること。
この手の問題は、参加することに意義がある。
