x を用いた式についての疑問です

質問

(x+3)/x ≧ -2

を解く時に
xが正の時、負の時 と場合分けして解くやり方で

試しに負の時に
xを正の数として
-x という形にして計算してみたいのですが

-xとして表すとすると

式が変わって (-x+3)/ -x ≧ -2

これに-xをかけて

-x+3 ≦ 2x
-3x ≦ -3
x ≧ 1

となります。
本当の解答は x≦-1 のようなのです。

なぜこのやり方では解答が違ってしまうのでしょうか？
理由が知りたいのでよろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>x ≧ 1
>となります。
>本当の解答は x≦-1 のようなのです。

>なぜこのやり方では解答が違ってしまうのでしょうか？
>理由が知りたいのでよろしくお願いします。

>xを正の数として
>-x という形にして計算してみたいのですが
>-xとして表すとすると
この逆の操作をして元のxに戻さないと本来の問題のxになりません。
逆の操作は
>x ≧ 1
両辺に-1を掛けて
　-x≦-1
ここで-xをxで置き換えてやれば
　x≦-1
となり、
>本当の解答は x≦-1
にたどり着きます。
同じxという変数名を使ったため、混乱してしまって間違ったのでしょう。

同じxを使わないで
x<0のとき
x=-tとおけば,t=-x>0となり
tの不等式を解いて見れば、
不等式の解が
　t ≧ 1
となりますから、これが最終的な不等式の答えと間違えることは無いでしょう。
最後にt=-x(x<0)と置き換えて
-x≧1
∴ x≦-1
とx<0の場合の不等式の正しい答えが得らます。

お分かりになりました？

補足

この逆の操作をして元のxに戻さないと本来の問題のxになりません。
逆の操作は
>x ≧ 1
両辺に-1を掛けて
　-x≦-1
ここで-xをxで置き換えてやれば
　x≦-1

という部分なのですが

-1をかけるのは初めに　- (正の数x)　という形にした時に負の符号がついてるからで

その後-xをxで置き換えるという所は
xを正の数としてみなしたために符号が反対になっているからということでしょうか？
よろしくお願いします。

それと
自分の中では　-(正の数x)　という形で　負の数xを表せると思っていたのですが、それが間違いで
x自体はどういう形にしても負の数のまま変えることは出来ないということでしょうか。

回答No.3

noname#190065

x<0のときは、両辺にxをかけるとき不等号の向きだけ変えればいいのです。x=-xと置いてるわけですから、#1の回答者の方のおっしゃる通り元に戻さないといけません。

回答No.1

noname#185374

元の式の x を -x としたからです．言いかえると，新しい式の x は元の式の -x です．ですから
x ≧ 1
を元の x で書くと
-x ≧ 1
となり，これから
x ≦ -1
という正解が得られます．

元の x を
x = -y
というように違う文字で置き換えた方がよかったと思います．

お礼

ありがとうございます。