ハイポサイクロイド

質問

定円に内接しながら円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡を内サイクロイド、ハイポサイクロイド、内擺線とも呼ばれます。

２つの円の半径の比が1:2のとき、ハイポサイクロイドが直線になる理由を、
（ある程度）数式を使わずに（媒介変数を使わずに、といった方が正確ですかね（^^;））、直感的に説明することは可能でしょうか？？

解釈できそうでできないので、困っています。
どうかよろしくお願いいたします。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

半径1の円Oと直径1の円O'を考えます。
点Aで両者が接しているところから始めて、円O'が円O内を転がって行く。その途中のある瞬間での接点をBとします。
円O'の円周は常に点Oを通っています。円Oの半径が円O'の半径の2倍だからです。
ここで、線分AOと、円O'の円周との(O以外での)交点をCとします。
　まず、∠BO'Cは∠BOCの丁度2倍である。これは円周角の話ですね。
　すると、弧BCと弧BAの長さは等しい。円Oの半径が円O'の半径の2倍だからです。
　なので、Cこそが問題の「定点」である。
つまり、「定点」は線分AO上にある。

お礼

明確な回答、ありがとうございます。
すっきりしました。

ストマックマンさまには何度かお世話になっております。
いつもありがとうございます。

回答No.1

k14i12d

直感的になら、定円(外側の固定された円)をC,内円(内接した、滑らずになめらかに転がる円)をC'とすると、
CとC'の半径の比が2:1より、Cの半径=C'の直径。
最初に接している点に注目すると、
C'がちょうど全行程の1/4転がったとき、C'の注目している点はちょうど今接している点と真向かい(それらを結ぶ線分は直径になるような)位置にあるので、注目している点はCの中心の位置にある。
1/2の転がったとき、ちょうど接している点が注目する点である。
だから、注目する点の軌跡は、その3点を確実に通る。
また、変化が連続でなめらかである事から、多分直線になりそうな気がする。

ってくらいの適当さでよいのかな笑

お礼

ありがとうございます。確かに直線になりそうですね。