二次関数に接する円

質問

初めて質問します。社会人で数学の知識は抜けてしまっています。
ｙ＝0.2ｘ^2+2.6ｘと接し（-1.5，0）をとおる半径5の円の中心座標と二次関数との交点の座標が知りたいです。
過去の質問より、媒介変数を用いて接円の中心座標の軌跡まで理解しましたが、その連立方程式となると、式が長～くなりとても導けそうにありません。以上宜しくお願いいたします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>媒介変数を用いて接円の中心座標の軌跡まで理解しましたが、
理解した範囲で「接円」の方程式が分かっているならその方程式と放物線の方程式を連立にして解けば交点の座標が求まります。
数式処理ソフト（MapleやMathematicaまたはMaximaなど）を使えば結果が出てきますが、交点の座標の式が長が～くなりますのでここでは書くことができません。
円の中心座標(c,d)のc,dも長～い式になりますので、円の中心が共通接点を通る法線上にあることと円が点（-1.5，0）を通る事の連立方程式を数式処理ソフトでとけば、長～い中心座標の式がすぐ出てきます。

共通接線の接点座標(a,b)をパラメータにして円の中心座標や交点の座標を求めればいいと思います。

フリーソフトの数式処理soft(Maxima(wxMaxima)を参考URLに書いて置きます。DLしてインストールして使えば、長～い計算結果の式も求めてくれます。ただ、余り長い式だとMaximaは使えません。その場合は有料のMapleやMathmaticaを使う必要があります。
（当方はMaximaとMaple10を使っています。）

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~hiroyasu/2008/maxima.html

参考URL：

http://maxima.sourceforge.net/

お礼

早々にアドバイス頂きありがとうございます。
やはり手計算では長～い式となってしまうのですね。
一度ソフトをインストールしてやって見ます。

回答No.4

info22

#2,#3です。
どの数式処理ソフトでも、標準的な方程式は直ぐ解けます。しかし少し複雑になると、ある変数の値が開平（√）で複数出たり、文字が含まれていてその符号が定まらない場合や、初等関数で表せない式になったりすると、計算が進行せず、いつまで経っても解を出してくれないこともあります。
そんな時、そのソフトを使う人が、数式処理ソフトが計算しやすいような計算式に変形するなどして、手助けしてやると計算が進行して解を出してくれます。どんな数式処理ソフトも万能では無いですね。使う人が、そのソフトを使いこなすだけの数学的なテクニック（経験やひらめき）が必要になります。
そして、A#3に書いた円の中心座標はMaximaやMapleで導出したものではありません。部分的な計算やチェックはMaximaやMapleで行います。なにぶん、これらのソフトは忠実に正確に即座に計算してくれます。しかしその結果が正しいか、どうかは教えてくれません。そこで、2次元グラフィックソフト（例えばGRAPES）で放物線や接円の軌跡を描かせて、結果が正しいかを確認しながら、MaximaやMapleの計算が正しいかを検証しながら解を導いていきます。
最終結果を導く過程でMaximaもMapleも両方比較しながら使いました。
Maximaは長い文字式が出てくると計算ができなくなります。
そんな時はMaximaのコマンドや出力をMapleのコマンド入力に貼り付けて計算します。Mapleも重い計算をすると計算放棄したり、応答なしになってしまうことがあります。そんなときは強制終了させますがAppletがギブアップしてしまっているような表示が出ます。Mapleは有料ライセンスソフトなのでライセンスサーバとのやり取りも関係しているかも知れません。
そんな状態でMaximaとMapleを共存状態で使っています。ふだんは動作の軽いMaximaを使うようにしいます（Maximaを複数立ち上げるなどして）。

お礼

maximaをインストールしましたが複雑な操作でできるまでには、もうしばらく時間がかかりそうです。ご回答よりヒントを得て近似値で求めることとしました。
ただ何パターンも関数があるので労力はかなり必要ですが。。。
なにかとご親切にありがとうございました。

回答No.3

info22

#2です。

連立方程式を解いてみた結果
円の中心座標を(c,d),その時の接点座標を(a,b)とすると
2組の解があり、以下のようになります。
(1)(a,b)=(1.03303,2.91192),(c,d)=(-3.70863,4.48575)
(2)(a,b)=(-1.79513,-4.02284),(c,d)=(-6.21050,-1.67667)

円の中心座標(c,d)を接点のx座標aを使って表すと
c=a-{5(2a+13)/√(4a^2+52a+194)
d={(a^2+13a)/5}+{25/√(4a^2+52a+194)}

お礼

お忙しいところ、ご回答頂きありがとうございます。
方程式まで解いていただき感謝致します。
知りたかった座標は、まさに(1)です。
これは先ほどのMaximaでだされたのですか？

早速インストールしましたが、フリーズ状態です。
操作方法が難しそうですが勉強してみます。
ありがとうございました。

回答No.1

mister_moonlight

時間がないから、方針だけ。

＞円の中心座標と二次関数との交点の座標が知りたいです。

交点の座標ではなく、接点の座標だろう。

計算が煩雑になりそうなので、k＝0.2とすると、この放物線は、ｙ＝kｘ^2+13*k*ｘ。
円の方程式は（x-a）＾2＋（y-b）＾2＝25。但し、点（-1.5，0）を通るから、（a-3/2）＾2＋（b）＾2＝25。‥‥(1)

放物線と円の接点をＰ（α、β）とすると、放物線と円はその接点で共通の接線を持つ。微分を使うと、両方の接線の方程式が求められるから、その2つの接線は等しい。
β＝kα^2+13*k*α　だから、ここでαとaとbの関係式が出てくる。‥‥(2)

これら(1)と(2)を連立すると求められるはず、でも計算は煩さそう。

お礼

お忙しいところ早々に回答いただきありがとうございます。
＞交点の座標ではなく、接点の座標だろう。
接点です。失礼しました。
解法としては、回答いただいたようになるだろう何度かトライしましたが、煩わしい計算式となり挫折しています。