面積の求め方

質問

高校レベルだと思うのですが、お願いします。
弧の長さと、その両端を結ぶ弦の長さが分かっています。
弧と弦で囲まれる面積を求めたいのですが...
高校のとき教科書でみたことがある問題なのですが
どうしても半径を求めるところから前へ進みません。
正弦定理か余弦定理を使ったような気もするのですが、
三角関数は苦手で...
誰か助けてください。眠れません。

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

keishinpapaさん、こんにちは。

＞弧の長さと、その両端を結ぶ弦の長さが分かっています。
弧と弦で囲まれる面積を求めたいのですが...

この円の半径をr,扇形の中心角を、θ（弧度法で）
扇形の弧の長さを、a
弧の両端を結ぶ直線の長さをb とします。

a=(2r)*π*(θ/2π)=rθ

b/2=rsin(θ/2)より、b=2rsin(θ/2)

扇形の面積　r^2*π*(θ/2π)=r^2θ/2

三角形の面積
高さをhとすると、h=rcos(θ/2)だから
三角形＝bh/2
={brcos(θ/2)}/2

b=2rsin(θ/2)より、sin(θ/2)=b/2r
cos(θ/2)=±√{1-sin^2(θ/2)}=±√{1-(b/2r)^2}
=±√(4r^2-b^2)/2r
三角形の面積＞０なので
三角形=b√(4r^2-b^2)/4

求める面積＝扇形ー三角形
=ar/2-b√(4r^2-b^2)/4
={2ar-√(4r^2-b^2)}/4

あとは半径rを求めて、上の式に入れれば完成ですが
a=rθより、θ=a/r
b=2rsin(θ/2)より、θ/2=arcsin(b/2r)
θ=2arcsin(b/2r)
なので、
a/r=2arcsin(b/2r)
を解かなければならないようです。
かなり難しいと思います。
ぱっと計算できるような数値じゃなければ、高校範囲では求められないかも。

回答No.1

keyguy

面積をＳとし弧の長さをａとし弦の長さをｂとし
弧の角度をθとし円の半径をｒとすれば

Ｓ＝π・ｒ＾２・θ／２／π－ｒ・ｓｉｎ（θ／２）・ｒｃｏｓ（θ／２）
＝ｒ＾２・（θ－ｓｉｎ（θ））／２

ａ＝２・π・ｒ・θ／２／π＝ｒ・θ
ｂ＝２・ｒ・ｓｉｎ（θ／２）

です。
Ｓにおいてｒとθを消去すればよい。
きれいな式にはならないでしょうね。