ニューステージ数学演習IA・IIB 174 領域

質問

こんにちは。
ニューステージ数学演習IA・IIBの174番についての質問です。
数学が苦手で教科書や参考書を見てもわかりません。

座標平面上で、連立不等式　x^2+y^2≦1 , x+y≦1 , 3x-y≦3　の表す領域をDとし、原点を中心とする半径1の円をCとする。aを実数とし、点A(5/3,0)を通り、傾きがaの直線をlとする。lとDが共有点をもつようなaの最大値と最小値を求めよう。

(1)　Cと直線 x+y=1 の共有点の座標は (0,ア) , (イ,0) であり、Cと直線 3x-y=3 の共有点の座標は (ウ/エ,オカ/エ) , (キ,0) である。

(2)　Cとlが接するのは、a=ク/ケ または a=-ク/ケ のときであり、このときの接点のx座標は コ/サ である。
　したがって、lとDが共有点をもつようなaの最大値は シ/ス であり、最小値は セソ/タ である。

答え　(ア) 1　(イ) 1　(ウ)/(エ) 3/4　(オカ)/(エ) -3/5　(キ) 1
　(ク)/(ケ) 3/4　(コ)/(サ) 3/5　(シ)/(ス) 3/4　(セソ)/(タ) -3/5

です。詳しい解説お願いします。

回答No.1

R_Earl

> 座標平面上で、連立不等式　x^2+y^2≦1 , x+y≦1 , 3x-y≦3　の表す領域をDとし、原点を中心とする半径1の円をCとする。aを実数とし、点A(5/3,0)を通り、傾きがaの直線をlとする。lとD が共有点をもつようなaの最大値と最小値を求めよう。

文章で問題が書かれて分からないときは、
図を描いてそれを見ながら考えてみましょう。
まず、この文章どおりに領域Dと直線lを描いて下さい。

aの値を変化させると直線の傾きが変わりますが、
この直線を領域Dにくっつけたまま、傾きaを最大にしたらどんな図になりそうですか？
同様に、線を領域Dにくっつけたまま、傾きaを最小にしたらどんな図になりそうですか？
この2つの図を元に今回の問題を考えて下さい。

> (1)　Cと直線 x+y=1 の共有点の座標は (0,ア) , (イ,0) であり、Cと直線 3x-y=3 の共有点の座標は (ウ/エ,オカ/エ) , (キ,0) である。

共有点の座標は連立方程式を立てれば求まります。
二直線の交点を求める時は、その2つの直線の式を連立させた方程式を解きますよね。
今回もそれと同じです。

ここで求めた情報を、先ほど描いた図にも書き込みましょう。

> (2)　Cとlが接するのは、a=ク/ケ または a=-ク/ケ のときであり、このときの接点のx座標は コ/サ である。

接するかどうかを半題する時は、判別式を利用していましたよね。
今回もそうします。

> 　したがって、lとDが共有点をもつようなaの最大値は シ/ス であり、最小値は セソ/タ である。

今まで描いた図と、(2)の結果を元に、
直線lの傾きを最大、最小にするにはどうしたらよいかを考えてみましょう。
そしてそれを元にaの値を求めましょう。