合同方程式の解

質問

整数論に関する問題です。

ｐを４｜ｐ－１ を満たす素数とする。
このとき x^4≡1(mod p) には法ｐで
４つの解があることを示せ。

４｜ｐ－１とは４がｐ－１を割り切るという
ことです。
解の数とはｐを法として互いに合同でないもの
の個数のことです。
整数論が苦手で、どうしてもわかりません。
どなたかよろしくお願いします。

回答No.5

keyguy · ベストアンサー

重箱の隅をつつく修正

命題1：
pを素数としP={0,1,2,・・・,p-1}とし
nを自然数としf(x)を最高次係数を1とするn次多項式としたとき
f(x)≡0　(mod　p)を満たすxはPにおいて高々n個しかない

命題2:
pを素数としP={0,1,2,・・・,p-1}とし
n,kを自然数としf(x),g(x)をそれぞれ最高次係数を1とするn次多項式,k次多項式としたとき
f(x)・g(x)≡0　(mod　p)
のPにおける解のセットと
f(x)≡0　(mod　p)　または　g(x)≡0　(mod　p)
のPにおける解のセットは同じである

問題
pを素数としP={0,1,2,・・・,p-1}とし
mをm|p-1を満たす自然数としたとき
x^m-1≡0　(mod　p)を満たすxはPにおいてm個有ることを示せ

回答
m|p-1よりh(x)を最高次係数1の(p-1-m)次多項式として
x^(p-1)-1=h(x)・(x^m-1)
とおける
ところでフェルマーの定理により
x^(p-1)-1≡0　(mod　p)
はPにおいてp-1個の解を持つから
h(x)≡0　(mod　p)
はPにおいて(p-1-m)個の解を持ち
x^m-1≡0　(mod　p)
はPにおいてm個の解を持つ

命題2は自明なので命題1だけ補足に

お礼

何度も答えてくださり、ありがとうございました。
整数論が苦手でとても困っていたので助かりました！
本当にありがとうございます！

回答No.4

keyguy

最高次係数を1とするが書けていた

命題1：
pを素数としnを自然数としf(x)を最高次係数を1とするn次多項式としたとき
f(x)≡0　(mod　p)を満たすxは0≦x<pにおいて高々n個しかない

命題2:
pを素数としn,kを自然数としf(x),g(x)をそれぞれ最高次係数を1とするn次多項式,k次多項式としたとき
f(x)・g(x)≡0　(mod　p)
の解のセットと
f(x)≡0　(mod　p)　または　g(x)≡0　(mod　p)
の解のセットは同じである

問題
pを素数としmをm|p-1を満たす自然数としたとき
x^m-1≡0　(mod　p)を満たすxは0≦x<pにおいてm個有ることを示せ

回答
m|p-1よりh(x)を最高次係数1の(p-1-m)次多項式として
x^(p-1)-1=h(x)・(x^m-1)
とおける
ところでフェルマーの定理により
x^(p-1)-1≡0　(mod　p)は0<x<pにおいてp-1個の解を持つから
h(x)≡0　(mod　p)は0<x<pにおいて(p-1-m)個の解を持ち
x^m-1≡0　(mod　p)は0<x<pにおいてm個の解を持つ

命題2は自明なので命題1だけ補足に

回答No.3

graphaffine

bulgarianさん、今晩は。平方剰余の定理を持ち出すのは
反則ですか。

とりあえず、参考程度に。

x^4-1≡0(mod　p)－－－－(A)の左辺を因数分解すると、
(x+1)(x-1)（x^2+1）となるから
x=1,-1は(A)の解。従って、x^2+1≡0(mod　p)－－－－(B)が2個の解を持つことを言えば良い（解があれば、それが±１でないことは明らか)
がそれは次の定理から言える。

定理　奇素数ｐに対し、（B)が解を持つためには、p≡1(mod　4)であることが必要十分である。

注：定理では解の個数については言及していませんが、2個ある事はすぐ分かりますよね。

お礼

「平方剰余の定理」というのは知りませんでしたが、
大変参考になりました。
ありがとうございました！

回答No.2

keyguy

sをp未満の自然数としたときX^(p-1)-1をX-sでわった商のp-2次多項式をg(X)としあまりをrすると
X^(p-1)-1=(X-s)・g(X)+r
X=sとするとフェルマーの定理よりp|rでなけれなならない事がわかるから
X^(p-1)-1≡(X-s)・g(X)　(mod　p)
sは1,2,3,・・・,p-1とできるから
X^(p-1)-1≡（X-1)・(X-2)・(X-3)・・・（X-(p-1))　(mod　p)

注)
0<a<b<pのとき
f(x)≡g(x)・(x-a)　(mod　p)
かつ
f(x)≡h(x)・(x-b)　(mod　p)
ならば
f(x)≡i(x)・(x-a)・(x-b)　(mod　p)
で有ることを補足に

回答No.1

keyguy

フェルマーの定理より
X^(p-1)-1≡（X-1)・(X-2)・(X-3)・・・（X-(p-1))　(mod　p)
4|p-1より
X^4-1|X^(p-1)-1
以上から
X^4-1≡(X-a)・(X-b)・(X-c)・(X-d)　(mod　p)
ただし0<a<b<c<d<p

補足

回答ありがとうございます。
ところで、フェルマーの定理は

「ｐが素数なら、a^p≡a(mod p)」

というものですよね？
この定理からどうして回答のような結果が導けるのか
がどうしてもわかりません。
申し訳ないですが、補足をお願いします。