二次合同方程式の解法過程について

質問

Mr_Holland さんが以前回答された過程で、
「x≡±1 (mod 3)・・・・（１）
∴x=3n±1」・・・・・・（２）
と
「±2n≡2 (mod 3)・・・・（３）
　この合同式は　±n=1 のとき成立するので・・・（４）
　±n=3m+1　（m:整数）とおける。」・・・・・（５）
の２つの展開が異なっているのが、よくわかりませんのでご教授願います。
【補足】
前者は展開が納得できるのですが、
後者は、
±n=1(mod 3)から
⇔n=±1(mod 3)と同じだから、
⇔n=3m±1と展開できるので、
（5）式±n=3m+1と異なります。
後者の妥当性が知りたいです。

以下、Mr_Holland さんからの 回答
2010-11-17 10:57:57 回答No.2

Mr_Holland
　ANo.1は煩雑でした。
　もう少しスマートに計算することができましたので、以下に示します。

　x^2≡7 (mod 27)
⇒x^2≡7 (mod 9)
⇒x^2≡1 (mod 3)
⇔x≡±1 (mod 3)
∴x=3n±1　(n:整数）とおける。
　以下、複号同順とします。

　x^2=(3n±1)^2= 9n^2±6n+1 だから
　　x^2≡±6n+1≡7 (mod 9)
　∴±6n≡6 (mod 9)
　∴±2n≡2 (mod 3)

　この合同式は　±n=1 のとき成立するので　±n=3m+1　（m:整数）とおける。
　x^2=9(3m+1)^2+6(3m+1)+1 =81m^2+72m+16 だから
　　x^2≡18m+16≡7 (mod 27)
　∴18m+9≡0 (mod 27)
　∴2m+1≡0 (mod 3)

　この合同式は　m=1 のとき成立するので　m=3k+1　（k:整数）とおける。

　　x=3n±1=±(±3n+1)=±{3(3m+1)+1}=±(9m+4)=±{9(3k+1)+4}=±(27k+13)
　∴x≡±13 (mod 27)
　∴x≡13,14 (mod 27)

回答No.3

f272

> なぜx≡±1 (mod 3)ではx=3n±1としたのに、±2n≡2 (mod 3)では±n=3m+1として、n=3m±1としなかったのかという意味です。

回答者の好き好きですよね。多分，その方がスマートに書けると思ったからでしょう。

> 「つまり、（問題を解くにあたって答えを知っていて）答えが出るように一般解の形をうまく操作しているように思えるのですが、私の思い違いでしょうか。」という他の方の指摘を受けての質問です。

答えを書くときには当然にその答えを知っています。答えが出るように一般解の形をうまく操作するのは，ある意味当然でしょう。わざわざわかりにくく書くことはありません。

ちなみに元の問題はこれですね。
http://okwave.jp/qa/q6324773.html
私が単純にこの問題を解くとしたら，実際に2乗して7になるかを確かめます。mod27であればたかだかx=0,1,2,...,13まで計算すれば十分ですし，そのうちのx=0とかx=1などは計算の手間などはほとんど無視できます。

お礼

答えを書くときには当然にその答えを知っているのですね。分かりました。ありがとうございました。

回答No.2

f272

> どうしても（b）式からだと（c）式n=3m±1にならざる負えないような気がします。ここのところは、どう理解したらいいのでしょうか。

(b) n≡±1(mod 3)を(c)n=3m±1としてもよいし(c')n=-3m±1してもよい。mというのは自分で勝手に導入する変数なのだから，どのように定義してもかまわないのです。

補足

回答ありがとうございます。

> どうしても（b）式からだと（c）式n=3m±1にならざる負えないような気がします。

とは、なぜx≡±1 (mod 3)ではx=3n±1としたのに、
±2n≡2 (mod 3)では±n=3m+1として、n=3m±1としなかったのかという意味です。わかりずらくてすみません。

「つまり、（問題を解くにあたって答えを知っていて）答えが出るように一般解の形をうまく操作しているように思えるのですが、私の思い違いでしょうか。」という他の方の指摘を受けての質問です。

（ちなみにn=3m±1で解いてもx≡13,14(mod27)の解が出てきます。）

回答No.1

f272

±n=1(mod 3)⇔n=±1(mod 3)⇔n=3m±1と(5)式±n=3m+1を比較すると
プラスのときn=3m+1とn=3m+1で同じ
マイナスのときn=3m-1と-n=3m+1つまりn=-3m-1だから前者のmが後者では-mに対応すると考えれば同じです。

お礼

回答ありがとうございます。前者のmが後者では-mに対応すると考えれば同じですね。なるほど納得しました。
助かりました。

補足

f272さん一度は納得したのですが、再度疑問に持ちました。回答では下記（a）式から±n=3m+1のプラスとマイナスについて理解できましたが、どうしても（b）式からだと（c）式n=3m±1にならざる負えないような気がします。ここのところは、どう理解したらいいのでしょうか。
±n≡1(mod 3)・・・（a）
⇔n≡±1(mod 3)・・（b）
⇔n=3m±1・・・・・（c）