[Q(√6):Q]とGal(Q(√6)/Q)の位数

質問

[Q(√2):Q]とGal(Q(√2)/Q)の位数の値がどちらも2になることは分かるのですが、[Q(√6):Q]とGal(Q(√6)/Q)の位数がいくつになるのかが分かりません。

(Q(√6)が体になることや、[Q(√2,√3):Q]＝4であることは分かります。)

[Q(√6):Q]＝2、Gal(Q(√6)/Q)の位数＝4かなとも思いますが、自信がありません。
分かられる方がおられれば、お教えいただけないでしょうか？

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

[Q(√6):Q]もGal(Q(√6)/Q)の位数も2 です。

一般に、r を平方数以外の有理数とするとき、次が言えます。 r の分母分子が素数かどうかは関係ありません。

（１）　√r の Q 上の最小多項式は、 2 次式 X^2-r 。よって、[Q(√r):Q] = 2 。

（２）　Q(√r) の Q 上の自己同型は、√r を √r に移すものと、√r を -√r に移すものの 2 個だけ。よって、Q(√r)/Q のガロア群の位数は、2 。

お礼

簡潔に丁寧に教えていただいて有り難うございました。
とてもよくわかり、勉強になりました。