素数のグラフ

質問

以前ヤフーの知恵袋で質問しましたがすっきりしません
内容は１億までの素数が１００個現れるごとに
直前の素数との差をグラフ化すると
視覚的に(平均値が)放物線のようになります
素数は不規則で気まぐれだと聞いたことがあります
ではなぜこのようなグラフになるのでしょうか
質問者は数学者ではありません、旋盤工です
レベルを下げたご回答をいただければ幸いです

回答No.4

ramayana

素数定理から導かれるのでは？
グラフの描き方がよく分からないので、「横軸に素数の大きさをとり、縦軸にその素数の隣の素数との差をとる」と考えます。

x 以下の素数の個数をπ(x) と書くと、素数定理により、近似的に

　　π(x) ≒ x/log(x)

となります。よって、x-100 を超え x 以下の素数の個数は、近似的に

　　π(x)-π(x-100) ≒ x/log(x) -(x-100)/log(x-100)

となります。100の長さの間に約 x/log(x) -(x-100)/log(x-100) 個の素数があるのだから、隣の素数との平均的な距離を d(x) とすると、近似的に、

　　d(x) ≒ 100/(x/log(x) -(x-100)/log(x-100))

となります。ｘ が大きいとき、x も、x-100 も、その間にある素数も、近似的に等しい（比をとれば1に近い）と考えられるので、y = d(x) のグラフを描けば、ほぼ上のグラフに近いものが得られるはずです。添付図のとおり、y = d(x) のグラフは、放物線を横にしたように見えます（本当は放物線でない）。

回答No.3

Water_5

何故そのようなグラフになるかは、わかりません。
答えられません。誰一人。

説明しようと努力はしているのですが、未完成なのです。
証明できていないのです。難しくて・・・・・

回答No.2

ask-it-aurora

No.1です．質問文を読み間違えました．すみません．「素数が１００個現れるごとに直前の素数との差」ですね．

とは言うものの「素数が１００個現れるごとに直前の素数との差」が何か，よくわからないのですが… 仮に素数を最初から200個を順にp[1]=2, …, p[100]=541, p[101]=547, …, p[200]=1223としたときどこの差を取るのでしょうか？補足に書いていただけませんか？

面白そうなのでいろいろいじって遊んでみたいと思います．

回答No.1

ask-it-aurora

「なぜこのようなグラフになるのか」というのはあまりよくない質問です．実際そうなるからそうなるとしか答えようがありません．そこで「このグラフは何か既知のよりかんたんな何かに似ていないか」という答えについて知っていることを書こうと思います．（放物線に似ているとか，似ていないとか）．

まず素数が不規則とか言うのはどういう意味で使われるかをハッキリさせておきましょう（もしかしたら専門家にはきちんとした別の定義があるかもしれませんが，説明をハッキリさせるためです．）

これは先に規則的な例を見ておくのがよいと思います．たとえば正の整数のうち奇数はすべて2n - 1(n = 1, 2, 3, …)と書けます．つまり5番目の奇数9は最初から1, 3, 5, 7, 9 と数え上げなくとも，2*5 - 1 = 9 とかんたんな式（閉じた式と呼ばれることも多い）で表せます．これが規則的であるということです．

一方，素数に対してはこのような式は知られていませんし，おそらく予想さえ立っていないと思われます．つまり5番目の素数が知りたければ最初からすべて数え上げなければわからない，ということです．これが不規則的であるということです．

さて，最初の質問に戻るとこれは素数の閉じた式についてではなくx以下の素数がどれくらいあるか，を100個ずつに区切ってプロットしたものでしょう．つまり上の意味で素数が不規則というのとこの問題については（直接の）関係ないということです．実際，この問題には「規則性」があります．ガウスという18世紀の大数学者も似たような実験をしていて彼はその分布について予想を立てました．π(x) をxを以下の素数としたとき
π(x) ~ x/log(x)
という近似式が成り立つ，というものです．（参考URLは実際にこれをプロットしたものです．）現在はその証明が与えられていて『素数定理』として知られています．が，その証明は結構難しいらしく手元にあったR. クーラントとH. ロビンズの「数学とは何か」という本のI. §1やVIII. §4にいろいろ書いてありましたが，きちんとした証明はありませんでした．なぜ，という問については証明を紐解けば良いのでしょうが，難しそうなので僕は手を出していないため知りません．

何かしらの参考になれば幸いです．

参考URL：

http://aleph.sagemath.org/?q=c4f00725-c74c-49a1-bbb2-1a193f62bdd8